Общие свойства средних величин

Для использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного действия.

По своему численному значению все средние величины занимают промежуточные положения между min и max значениями признака. При этом наименьшую величину имеет средняя гармоническая, а наибольшую – средняя квадратическая, что можно представить следующей схемой:

min < H < G < M < S < max

Учёт указанных взаимоотношений между средними величинами помогает при проверке произведённых вычислений. Например, если средняя арифметическая оказалась выше max значения признака или если средняя геометрическая больше средней арифметической, то, очевидно, что в расчетах имеются ошибки.

Средняя признака показывает, какую величину имел бы каждый из представителей изучаемой группы, если бы были одинаковыми и суммарное их действие было такое же, как и фактических неусреднённых значений этой группы. При использовании средних величин предполагается, что пока они применяются, разнородная группа заменена однородной группой, в которой все значения признака одинаковы и равны средней величине.

Например, если имеется пять значений признака: 1; 4; 5; 5; 5 со средней величиной М = 4, то при использовании этой средней предполагается, что разнородная группа заменена на однородную с одинаковыми значениями: 4; 4; 4; 4; 4.

Эта особенность средних величин лежит в основе таких обычных производственных выражений как: «от каждой коровы получено по 3000 л молока», «с каждого гектара получено по 500 ц свеклы», «с каждого улья получено по 80 кг мёда», «при откорме получено по 100 кг привеса на каждую голову» и т.д.

Коровы дают, конечно, различные удои, на разных участках получен разный урожай. Для производственной характеристики хозяйства и, особенно для плановых расчётов оказалось удобным условно принять, что все коровы дали или будут давать одинаковый удой, равный средней величине этого признака для данного стада и года («от каждой коровы»), или, что с каждого гектара получен один и тот же урожай, равный среднему урожаю с общей площади («с каждого гектара»)

Заменить разнородную группу однородной можно только путём отвлечения от тех различий, которые существуют в действительности. Только абстрагируясь от имеющихся индивидуальных разнообразных значений, можно дать требуемую характеристику группы одним числом – средней величиной признака.

В этом смысле всякая средняя величина есть, прежде всего, абстрактная величина, которая часто в действительности не существует, а иногда и не может существовать

Если средняя масса особей какого-нибудь вида животного в определённых условиях равен 40,57 кг, то существование такого экземпляра возможно, но крайне мала вероятность того, что какая-нибудь определённая особь будет весить точно 40,57 кг.

Абстрактность средних величин вызывает необходимость при вычислении их определять, от какого разнообразия необходимо отвлечься в данном случае. Самая полная абстракция получается в тех случаях, когда средняя рассчитывается для всех особей изучаемой совокупности.

Если требуется учитывать какое-нибудь одно или несколько условий, например, пол, возраст особей, сезон года, ареал распространения, физиологическое состояние, принадлежность к опытным и контрольным группам, происхождение от определённых родителей и т.д., то необходимо в той или иной степени освобождаться от полной абстракции и определять среднюю величину для отдельных частных групп. Чем больше таких частных групп и чем они меньше, тем менее абстрактной становится средняя величина.

Не всякое выравнивание различий в группе может привести к правильной средней величине. Вычисление средних величин необходимо вести таким образом, чтобы суммарное действие выровненных значений признака было бы равно суммарному действию первоначальных неусреднённых значений. Например, если 4 взрослые особи какой-нибудь промысловой птицы весили 2; 3; 3; 4 кг средняя масса всех птиц

 кг

Суммарная масса 4-х усреднённых значений 3+3+3+3=12 кг. Такая же суммарная масса имелась и в действительности: 2+3+3+4=12 кг. В данном случае выбор величины – средней арифметической сделан правильно. Но так бывает не всегда. Например, требуется рассчитать среднегодовой прирост популяции какого-нибудь вида за 2 года, если известно, что за первый год прирост составил 20%, а за второй – 60% (от начала второго года). Используя способ средней арифметической, получаем:

В данном случае применение этой средней не будет правильным, т.к. 2 усреднённых значения в своём суммарном действии не дадут того же результата, какой дали два фактических неусреднённых значения. Фактический общий суммарный прирост популяции за 2 года определяется следующим образом.

К концу первого года популяция составляла

к концу второго года

Прирост за два года равен

Если принять за средний прирост 40%, то к концу первого года популяция составит ,

к концу второго года

а прирост за два года

Ошибка в данном случае заключалась в неправильном выборе средней величины взята средняя арифметическая, а для вычисления среднего прироста надо пользоваться средней геометрической.

Если использовать среднюю геометрическую, то средний прирост определится следующим образом:

При этом суммарный результат будет равен фактическому:

Прирост за 2 года составляет 192 – 100 = 92%.

Единство суммарного действия служит проверкой правильности выбора той или иной средней. Если суммарный результат усреднённых значений не равен результату, полученному по первоначальным фактическим значениям, значит или средняя выбрана неправильно, или вычисления проведены с ошибками.

 

Средняя арифметическая

Самым распространённым показателем среднего качества является средняя арифметическая. Вычисляется она, как указывалось по формуле:

,

где М – средняя арифметическая

 – знак суммирования

V – дата, отдельное значение изучаемого признака.

n – число использованных значений признака в развёрнутом виде имеет следующий вид:

Например, для пяти значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая

.