Углы при таком перемещении не изменяются.

 

Задача 3.1. Определить угол между плоскостями

в объемной геометрической фигуре

Пример: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить угол

между плоскостями ADD₁ и BDC₁.

1. Переносим плоскость ADD₁ на плоскость BCC₁.

В результате получим линию пересечения этих плоскостей (BDC₁ и BCC₁) – линию BC₁, которая является диагональю боковой грани призмы BВ₁CC₁.

2. Строим перпендикуляры к этой линии пересечения ВС₁ в каждой из заданных плоскостей. Эти перпендикуляры пересекаются в одной точке – точке E, так оба треугольника, ∆ BDC₁ и ∆ BСC₁, являются равнобедренными треугольниками с одной общей стороной (в связи с тем, что рассматриваемая геометрическая фигура – это куб).

3. Получаем треугольник CED, в котором угол ∠ E в ∆ CED и есть искомый угол, то есть линейный угол двугранного угла (по определению) между заданными в условии плоскостями.

Задача 3.2. Определить угол между прямой и плоскостью

в объемной геометрической фигуре

Построить перпендикуляр и определить проекцию точки на плоскость будет легко, если удастся провести через заданную прямую плоскость, перпендикулярную данной.

Пример: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить угол

между прямой BD₁ и плоскостью ACB₁

 

1. Плоскость BDD₁B₁ содержит прямую BD₁ и является перпендикулярной к плоскости ACB₁, так эти плоскости проходят через перпендикулярные прямые – диагонали основания куба (АС и BD).

 

2. На заданной прямой BD₁ и линии пересечения плоскостей EB₁ через точку Е на линии пересечения EB₁ замыкаем треугольник E D ₁ B₁.

 

3. Угол E (∠В₁ E D ₁) в этом треугольнике – это искомый угол – угол между прямой BD₁ и плоскостью ACB₁ в кубе.

 

4. Расстояние от точки до прямой

 

Расстояние от точки до прямой определяется как кратчайшее возможное расстояние от точки до прямой.

Этим расстоянием является длина перпендикуляра, проведенного из этой точки до прямой.

Таким образом задача сводится к построению перпендикуляра к прямой из заданной точки и вычислению его длины.

 

Задача 4.1. Определить расстояние между точной на плоскости

и линией, пересекающей данную плоскость под прямым углом

Пример: Определить расстояние между точкой на плоскости

и линией, перпендикулярной данной плоскости

 

Если в имеющемся задании:

- можем найти какую-либо плоскость, перпендикулярную заданной прямой;

- на этой плоскости расположена заданная точка, –

это значит, что искомый перпендикуляр, который необходимо провести от точки, лежащей на данной плоскости, к прямой линии, перпендикулярно пересекающей данную плоскость, будет лежать в этой плоскости.

То есть, перпендикуляром, определяющим расстояние от точки на плоскости до прямой, перпендикулярной данной плоскости и пересекающей плоскость в определенной точке, будет линия, соединяющая точку на плоскости с точкой пересечения этой перпендикулярной к плоскости линии с плоскостью.

В этом случае задача сводится к определению расстояния между двумя точками на плоскости: заданной точкой и точкой пересечения прямой и плоскости.

Задача 4.2. Определить расстояние от точки до прямой,

Которые определены