Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

 

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

· Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.

· Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.

· Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

· Теорема 1 (Признак перпендикулярности плоскостей).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

 

· Теорема 2.

Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Вопрос 2. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

 

· Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

 

· Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

 

· Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

 

· Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

 

Определение:

В стереометрии ортогональной (перпендикулярной) проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание:

Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много.

Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить, если прямая, определяющая направление проецирования, будет не перпендикулярна плоскости.

Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах.

А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

 

Вопрос 3. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

по теме «Углы и расстояния в пространстве» –

на типовых примерах

1. Угол между прямыми

Задача 1.1. Определить угол между пересекающимися прямыми

 

Если прямые, между которыми требуется определить угол, пересекаются:

1) на этих прямых строится треугольник с вершиной в точке пересечения.

2) две другие вершины выбираются из соображений того, чтобы длины сторон получившегося треугольника легко вычислялись.

3) теперь угол между заданными прямыми – и есть искомый угол в полученном треугольнике.

Задача 1.2. Определить угол между скрещивающимися прямыми

 

Если прямые, между которыми требуется определить угол, скрещиваются (не пересекаются и не параллельны), одну из этих прямых параллельным переносом сдвигают так, чтобы прямые пересеклись.