Тема. Углы и расстояния в пространстве

Тема. УГЛЫ И РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Вопросы

Углы в пространстве

Расстояния в пространстве

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

При таком переносе углы между прямыми не изменяются.

Какую прямую и в каком направлении сдвигать, определяем из тех соображений, чтобы с помощью данного треугольника, построенного на этих прямых с вершиной в точке пересечения, можно было бы определить искомый угол.

Следующий шаг сводится к определению угла между пересекающимися прямыми.

Пример:

Найти угол между прямыми AE и SB

В пирамиде ABCDS,

Если E середина ребра SD.

1. Переносим прямую SB

в положение прямой EO.

Эти прямые параллельны (SB||EO), так как EO – это средняя линия в треугольнике BDS, а SB основание этого треугольника.

 

2. Теперь задача сводится к вычислению угла Е (∠АEО) в треугольнике EAO.

Задача 1.3. Определить перпендикулярность скрещивающихся прямых

Перпендикулярность скрещивающихся прямых можно выяснить при помощи теоремы о трех перпендикулярах:

Если ортогональная (прямоугольная) проекция одной из прямых на плоскость (содержащую вторую прямую) перпендикулярна второй прямой, то и первая прямая также перпендикулярна второй.

Обращаем внимание, что Теорема о трех перпендикулярах – это теорема о трех перпендикулярах, которые находятся в трех разных плоскостях.

Пример:Определить угол между прямыми BD₁ и A₁D

в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

1. Прямая AD₁ является ортогональной проекцией BD₁ на плоскость AA₁D₁D, то есть получаем первый перпендикуляр из теоремы о трех перпендикулярах

(АВ ┴ AA₁D₁D).

При этом, отрезки АВ, BD₁, AD₁ – лежат в одной плоскости – АВD₁.

 

2. Отрезки AD₁ и A₁D перпендикулярны как диагонали квадрата (это второй перпендикуляр).

При этом, отрезки AD₁ и A₁D лежат в другой плоскости – AA₁D₁D.

 

3. В плоскости AA₁D₁D отрезок A₁D параллельно перенесем в точку D₁ (является основанием наклонной BD₁), в результате получим (в соответствии с теоремой о трех перпендикулярах) третий перпендикуляр (A₁D ┴ BD₁).

Этом параллельный перенос перпендикулярность перенесенного отрезка A₁D и отрезка AD₁ сохраняет (см. выше Задачу 2).

При этом, параллельно перенесенный отрезок A₁D и отрезок BD₁ будут лежать уже в третьей плоскости, проходящей через эти два отрезка (прямые линии).

 

4. Следовательно, если A₁D перпендикулярна BD₁, то угол между прямыми BD₁ и A₁D – прямой, то есть составляет 90°.

2. Угол между прямой и плоскостью

Задача 2.1. Определить угол между прямой, не принадлежащей

Между прямой BD

И плоскостью BCS

В правильной пирамиде

 

 

1. Выбираем на прямой BD точку O – середину диагонали BD основания пирамиды.

 

2. Плоскость SOF

перпендикулярна боковой грани пирамиды BCS, так как на BCS есть прямая BC, которая перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости SOF (OF и SO).

 

3. В плоскости SOF опускаем перпендикуляр ОЕ на линию SF (линию пересечения плоскостей SOF и BCS).

 

4. Точка E является проекцией точки O на плоскость BCS.

 

5. Соединив точку Е с вершиной пирамиды, точкой В, создадим треугольник BOE.

6. Угол ОВЕ (∠ B) в этом треугольнике и есть искомый угол – угол между заданными прямой и плоскостью в объемной геометрической фигуре.

3. Угол между плоскостями

 

Плоскости в пространстве образуют двугранные углы. Линейным углом такого двугранного угла называется угол между прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Если линия пересечения плоскостей хорошо определяется и удается построить прямые, перпендикулярные этой линии и пересекающиеся на ней, то остается лишь замкнуть треугольник на этих прямых и определить угол в треугольнике.

Иногда для удобства нахождения линии пересечения плоскостей требуется перемещать плоскости параллельным переносом.

Которые определены

От вершины B до прямой MN,

если точка M делит AS в отношении AM:MS = 1: 2,

а точка N делит FS в отношении FN: NS = 2: 1

1. Проводим из вершины B две линии BM и BN к концам заданной на боковой грани AFS линии MN.

 

2. В получившемся треугольнике BMN вычисляем высоту BK.

 

4. Высота BK – это кратчайшее расстояние от точки В до линии MN.

 

5. Длина линии ВК – это искомое расстояние.

 

Задача 4.4. Определение расстояния от точки до прямой

Определить расстояние

от точки B до прямой A₁F₁.

 

1. Переместим точку B в точку O вдоль прямой линии ЕВ, параллельной заданной линии A₁F₁.

2. Проведем из точки O две линии: OA₁ и OF₁ к заданной прямой A₁F₁.

3. Длина высоты в полученном треугольнике OA₁F₁ и будет искомым расстоянием.

 

 

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

 

1. Законспектировать представленный дистанционный материал по данной теме в свою тетрадь по математике.

2. Выучить все представленные понятия, определения, признаки, теоремы и свойства по данной теме.

3. Рассмотреть представленные типовые задачи, разобрать их решения.

4. Самостоятельно решить задачи, представленные ниже.

5. Фото/скан конспекта и самостоятельного решения задач прислать преподавателю на проверку.

 

 

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1

 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁, стороны основания которой равны N, а боковые рёбра равны 2 N, найти расстояние от точки С до прямой A₁F₁.

Где N – это номер студента в классном журнале.

Построения, необходимые для решения, внести в данную схему.

При решении воспользоваться одним из способов решения типовых задач (вопрос 3 данной темы).

 

 

Задача 2

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D , стороны основания которой равны N, а боковые рёбра равны 2 N, найти угол между прямой АВ₁ и плоскостью BDD₁.

Где N – это номер студента в классном журнале.

Построения, необходимые для решения, внести на данную схему.

При решении воспользоваться одним из способов решения типовых задач (вопрос 3 данной темы).

 

Тема. УГЛЫ И РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Вопросы

Углы в пространстве

Расстояния в пространстве