Достаточные условия возрастания и убывания (монотонности) функции.

· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала (a,b), то функция возрастает на (a,b);

· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала (a,b), то функция убывает на (a,b).

· Если производная функции у=f (x) равна нулю для любого х из интервала (а,b), то функция постоянная на (a,b)

Доказательство:

Доказывается достаточный признак монотонности на основании теоремы Лагранжа:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то в этом интервале существует хотя бы одна точка x=с, такая, что f(b)−f(a)=f′(с)(b−a).

Далее Е – принадлежит, V - любые

v Выберем производную m x1,x2E(a,b), пусть х1<х2.

На интервале (а,b) ф-ия у=f(x) удвл. усл. теоремы Лагранжа, поэтому применим в виде:

f(x2)-f(x1)=f' (c)(x2-x1)

1)Пусть f(x)>0 VxE(a,b), в частности f'(c)>0, т.к. m.CE(x1;x2) c(a;b)

f(x2)-f(x1)=f' (c)(+) (x2-x1)(+) >0 ->

f(x2)-f(x1)>0 -> f(x1)<f(x2) и x2>x1 по опр.возр.ф. -> y=f(x) возрастает на интервале (a;b)

2) Пусть f'(x)<0 VxE(a,b) в частности f'(c)<0,т.к. cE(a,b)

f(x2)-f(x1)=f'(c)(-) (x2-x1)(+) < 0 ->

f(x2)-f(x1)<0 -> f(x2)<f(x1) ->x2 <x1 по опр.убыв.ф. -> y=f(x) убывает на интервале (a,b)

3) f'x)=0 VxE(a,b), в частности f'(c)=0

f(x2)-f(x1)=f'(c)(=0) (x2-x1)= 0 -> Vx1,x2E(a,b) f(x1)=f(x2) -> y=f(x) = C = const

v f(b) - f(a) = f'(c) (b-a)

 

23. Определение точки минимума и точки максимума y = f (x). Доказательство необходимого признака экстремума функции y = f (x). Доказательство первого достаточного признака экстремума функции y = f (x). Доказательство второго достаточного признака экстремума функции y = f (x).

Определение точки минимума: т. х0 принадлежащая области определения функции y=f(x) называется точкой минимума этой функции если для всех точек х х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)>f(x0)

Определение точки максимума: т. х0 принадлежащая области определения функции y=f(x) называется точкой максимума этой функции если для всех точек х≠х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(x0)

Необходимый признак экстремума: если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х0, то f’(x0)=0 или f’(x0) не существует

Доказательство: пусть х0 – точка максимума, тогда по окр. точки М                     для всех

Рассмотрим

· Если

· Если

Если f’(x0) существует, то

Первый достаточный признак экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 (кроме может быть самой точки х0). Если f’(x) при переходе через х0 меняет знак с «+» на «-», то х0-max, если с «-» на «+», то х0-min.

Доказать: х0- точка max

Доказательство: Возьмем произвольную точку

а) Рассмотрим [x;x0]. По теореме Лагранжа

т.к. х0-х>0 и по условию f’(c)>0, тогда

б) Рассмотрим [x0;x]. По теореме Лагранжа

т.к. по условию f’(c)<0 и х-х0>0, то

исходя из а) и б)  – max

Доказать: х0- точка min

Доказательство: Возьмем произвольную точку

а) Рассмотрим [x;x0]. По теореме Лагранжа

т.к. х0-х>0 и по условию f’(c)<0, тогда

б) Рассмотрим [x0;x]. По теореме Лагранжа

т.к. по условию f’(c)>0 и х-х0>0, то

исходя из а) и б)  – min

Второй достаточный признак экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 является точкой экстремума функции y=f(x), если: 1) f’(x0)=0; 2) f’’(x0)≠0, причем

а) если f’’(x0)>0, то х0- точка min

б) если f’’(x0)<0, то х0- точка max

Пусть выполнены условия теоремы и f’’(x)> 0. Тогда f’(x)в возрастает, но f’(x)= 0, следовательно, в при переходе через точку x0 f’(x)меняет знак с «—» на «+». Согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка x0 является точкой локального минимума функции f(x).

Если f’’(x)<0, то f’(x) в  убывает, но f’(x)= 0, следова­тельно, в при переходе через точку x0 f’(x) меняет знак с «+» на «—». Тогда, согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка x0 является точкой локального максимума функции f(x).