Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема Ролля, доказательство, геометрическая интерпретация.
Теорема Ролля Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет производную f’(x) на интервале (a,b) и при этом f(a)=f(b). Тогда существует точка c ∈ (a,b), в которой выполнено условие f’(c)=0. Доказательство. Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и, следовательно, достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение. Если эти значения совпадают, то функция равна константе, и ее производная равна 0 в каждой точке интервала (a,b). Если же наибольшее и наименьшее значения функции не совпадают, то хотя бы одно из них не совпадает со значением функции на границах отрезка. Пусть в точке c ∈ (a,b) достигается наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Тогда эта точка является точкой экстремума и в этой точке по теореме Ферма производная равна 0. Геометрическая интерпретация. Теорема означает, что если функция y=f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка С такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельная оси Ox. Следствие. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями непрерывной дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной. 20. Теорема Коши. Теорема Лагранжа, доказательство, геометрический смысл. Теорема Лагранжа: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на , то найдется хотя бы одна точка такая, что . Геометрический смысл теоремы Лагранжа: Если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге графика функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна хорде , стягивающей эту дугу. Дано: – непрерывна на , дифференцируема на Доказать: Доказательство: Введем вспомогательную функцию , где – угловой коэффициент . , , – удовлетворяет условиям теоремы Ролля: 1. – непрерывна на ; 2. – дифференцируема на ; 3.
По теореме Ролля: ,
Теорема Коши. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций). Если функции y = f (x) и y = g(x) 1) непрерывны на отрезке [a;b]; 2) дифференцируемы на интервале (a;b); 3) производная g′(x) ≠ 0 на интервале (a;b). Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 такая, что Из условия теоремы следует, что g′(x) ≠ 0. Это означает, что разность g (b) − g (a) ≠ 0. Действительно, если бы g (b) − g (a) = 0, то функция y = g (x), являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае g ′(x) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке x0 интервала (a; b), что противоречит условию. Введем вспомогательную функцию
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) F(x) непрерывна на отрезке [a;b], так как непрерывны функции у = f (x) и y = g (x); 2) функция F(x) имеет производную всюду в интервале (a;b), поскольку каждое слагаемое в правой части функции F(x) имеет производную на этом интервале; 3) F (a) = F (b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой. Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки x0, что F ′(x0) = 0. Поэтому Отсюда следует Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g(x)=x. Геометрический смысл теоремы Коши Пусть плоская кривая γ описывается параметрическими уравнениями , , где параметр изменяется в промежутке . При изменении параметра точка кривой на рисунке 1 пробегает от до . В соответствии с теоремой Коши на кривой найдется точка , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы и данной кривой. 21. Определение дифференцируемой функции в точке . Определение дифференциала . Геометрический смысл дифференциала 1. Определение: Функция называется дифференцированной в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде , где Другая формулировка: называется дифференцированной в точке, если приращение в этой точке допускает выделение главной части линейной приращения аргумента Приращение дифференцируемой функции имеет 2 слагаемых 1) – главная по значению линейная относительно часть приращения функции , называется главная часть 2) – бесконечно малое более высокого порядка малости, чем 2. Определение: Дифференциал независимой переменной равен приращения независимой переменной 3. Геометрический смысл дифференциала в точке: Искомая прямая Прямая имеет угловой коэффициент и проходит через точку , , данная прямая – касательная к графику функции в точке .
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной проведенной к графику функции в точке , где , когда абсцисса точки касания получает приращение 22. Определение функции y = f (x), возрастающей (убывающей) в интервале. Доказательство достаточного признака возрастания (убывания) функции на интервале.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 1549; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.133.96 (0.008 с.) |