Экзаменационные билеты к экзамену по высшей математике

Теоремы о пределах: предел суммы, произведения и частного двух функций, имеющих предел (с доказательством одной из теорем)

1) Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

Доказательство: Пусть ,

Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции:

    

, где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций).

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции

или

2) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство:

Пусть , Тогда ,

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е.

3) Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:

Доказательство: Пусть ,  Тогда и

По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому , т.е.

Сравнение бесконечно малых. Символ,,о”- малое. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых величинах (с доказательством одной из них).

Вышмат. Вопрос 6.

Сравнение бесконечно малых. Символ,,о”- малое. Теоремы об

эквивалентных бесконечно малых величинах (с доказательством одной из

них).

Сравнение бесконечно малых.
Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, надо найти предел их отношения.

Определение: Пусть и бесконечно малые величины, одновременно стремящихся к нулю.

· Если предел отношения равен нулю, то бесконечно малая величина называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая β.

Обозначение:

α =о(β) или α << β

Читается: a есть «o - малое от b»

· Если существует конечный, отличный от нуля, предел их отношений, то

бесконечно малые величины a и b называются б.м. одного порядка малости

a

· Нет необходимости рассматривать случай, когда предел отношения     равен бесконечности,

так как в этом случае предел отношения  б/а (бета к альфа) равен нулю, значит b является б.м. более высокого порядка, чем a.

 

· Если же не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения бесконечно малых a и b, то говорят, что эти бесконечно малые не сравнимые по отношению.

· Если предел отношения равен 1, то бесконечно малая величины и β называются эквивалентными бесконечно малыми

Эквивалентными бесконечно малыми называются 2 бесконечно малые а и б (альфа и бета) одновременно стремящиеся к 0, предел отношения которых равен 1

Свойства эквивалентных бесконечно малых (теоремы)
1) Для того, чтобы две бесконечно малые a и b, одновременно стремящиеся к

нулю, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой

более высокого порядка малости, чем любая из них.

Доказательство.

Доказательство (только для удобства записи) проведем для случая, когда и - функции, являющиеся бесконечно малыми при .

 

Необходимость.

Дано что (альфа экв. Бета) при ,

Надо доказать. что (или ) при .

 

▲Обозначим

Найдем .

Это значит, что или . ▲

 

Достаточность.

Дано, что при ,

Надо доказать, что (альфа экв. Бета) при .

 

 

▲Так как , то ;

 

,

 отсюда , т. е. (альфа экв. Бета) при .▲

 

2)  Предел отношений двух бесконечно малых не изменится, если любую из них заменить на ей эквивалентную.

Доказательство.

▲Пусть и - бесконечно малые функции при .

Дано, что при , (альфа экв. Альфа 1, бета экв. Бета 1).

▲

 

 

Определение

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

 

Функция является обратной, если её область значений, есть область определения прямой функции, а область определения, есть область значений прямой функции. {\displaystyle f:X\to Y}

Теорема.

 Пусть функция является обратной для функции . Если существует отличная от нуля производная функции по переменной x, то существует и производная обратной функции по переменной y. При этом

Доказательство.

· По Фриштер и рисунку: альфа + бетта = pi/2 => бетта = pi/2 – альфа => tg бетта = tg (pi/2 - альфа) = ctg альфа => tg бетта = 1/ tg альфа =>

=> По определению производной

· Из интернетов проклятых:

По определению производной

 

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях, является непрерывной функцией и, следовательно, при ∆ x → 0. Тогда

что влечет за собой доказываемое утверждение.

16: Параметрическое задание функции. Доказательство теоремы о производной функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно.

Определение: переменная у называется параметрической переменной х, если закон соответствия между переменными задан системой.

Теорема: пусть функция задана параметрически:

t ,

Пусть  производные функции x(t), y(t),

 при этом x’(t)

Тогда производная функции y’(x)=

Доказательство: рассмотрим  =

По условию теоремы  x’(t), то функция x=x(t) непрерывна, значит, по второму определению непрерывности: =0, т.е.

при

Тогда:  =  =(по свойству пределов)  = = , Ч.Т.Д.

Производная высших порядков для функции, заданной параметрически:

 ,  t  , значит  – функция

Производная от функции, заданной параметрически, является параметрически заданной функцией.

                            

 

 , тогда =

Производная функции, заданной неявно:

Функция у называется неявно заданной, если она задана уравнением f(х,у)=0, в котором нельзя выразить ни х, ни у.

Порядок дифференцирования неявно заданной функции:

1) Дифференцируем от соотношения F(x,y)=0, считая у функцией от х

-(x )’=1* +x*2y*y’(x)

()’= *y’(x)

()’=  *(2x+ *y’(x))

2) В полученном равенстве находим y’=f(x,y)

3) Чтобы найти f’(), надо подставить координаты точки в выражение производной

17 Связь между существованием производной в точке и непрерывностью функции y=f(x) в этой точке

(с доказательством и примером непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.)

Если функция имеет производную в точке , то она в этой точке непрерывна
По условию теоремы  тогда по определению производной

 

Но стоит отметить, что обратное утверждение не верно

Пример:

А) непрерывность

Задаем в точке  => приращение , тогда  получит приращение

Б) Произв.

1б)      

 

2б)  

         

1

Вывод:  непр. в т.  не имеет производной в т.

y=-x y      y=x

                              

       d=     

                    x    -1

 

 

Не существует касательной к графику ф-и

Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет производную f’(x) на интервале (a,b) и при этом f(a)=f(b). Тогда существует точка c ∈ (a,b), в которой выполнено условие f’(c)=0.

Доказательство. Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и, следовательно, достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение. Если эти значения совпадают, то функция равна константе, и ее производная равна 0 в каждой точке интервала (a,b). Если же наибольшее и наименьшее значения функции не совпадают, то хотя бы одно из них не совпадает со значением функции на границах отрезка. Пусть в точке c ∈ (a,b) достигается наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Тогда эта точка является точкой экстремума и в этой точке по теореме Ферма производная равна 0.

Геометрическая интерпретация. Теорема означает, что если функция y=f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка С такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельная оси Ox.

Следствие. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями непрерывной дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

20. Теорема Коши. Теорема Лагранжа, доказательство, геометрический смысл.

Теорема Лагранжа: Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на , то найдется хотя бы одна точка  такая, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: Если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге графика функции  найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна хорде , стягивающей эту дугу.

Дано:  – непрерывна на , дифференцируема на

Доказать:

Доказательство: Введем вспомогательную функцию , где  – угловой коэффициент . , ,

 – удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.  – непрерывна на ;

2.  – дифференцируема на ;

3.  

 

По теореме Ролля: ,

 

Теорема Коши.

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций).

Если функции y = f (x) и y = g(x)

1) непрерывны на отрезке [a;b];

2) дифференцируемы на интервале (a;b);

3) производная g′(x) ≠ 0 на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x₀ такая, что

Из условия теоремы следует, что g′(x) ≠ 0. Это означает, что разность g (b) − g (a) ≠ 0. Действительно, если бы g (b) − g (a) = 0, то функция y = g (x), являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае g ′(x) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке x₀ интервала (a; b), что противоречит условию. Введем вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на отрезке [a;b], так как непрерывны функции

у = f (x) и y = g (x);

2) функция F(x) имеет производную всюду в интервале (a;b), поскольку

каждое слагаемое в правой части функции F(x) имеет производную на этом

интервале;

3) F (a) = F (b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки x₀, что F ′(x₀) = 0.

 Поэтому

Отсюда следует

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g(x)=x.

Геометрический смысл теоремы Коши

Пусть плоская кривая γ описывается параметрическими уравнениями , , где параметр изменяется в промежутке . При изменении параметра точка кривой на рисунке 1 пробегает от до . В соответствии с теоремой Коши на кривой найдется точка , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы и данной кривой.

21. Определение дифференцируемой функции  в точке ­­ . Определение дифференциала . Геометрический смысл дифференциала

1. Определение:

Функция  называется дифференцированной в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде , где

Другая формулировка: называется дифференцированной в точке, если приращение в этой точке допускает выделение главной части линейной приращения аргумента

Приращение дифференцируемой функции имеет 2 слагаемых

1)  – главная по значению линейная относительно  часть приращения функции , называется главная часть

2)  – бесконечно малое более высокого порядка малости, чем  

2. Определение:

Дифференциал независимой переменной  равен приращения независимой переменной

3. Геометрический смысл дифференциала в точке:

Искомая прямая

Прямая  имеет угловой коэффициент  и проходит через точку , , данная прямая – касательная к графику функции в точке .

Дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной проведенной к графику функции в точке , где , когда абсцисса точки касания получает приращение

22. Определение функции y = f (x), возрастающей (убывающей) в интервале. Доказательство достаточного признака возрастания (убывания) функции на интервале.

Доказательство

Предположим для определенности, что f ''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M ₀ с абсциссой x ₀ Î (a; b) и проведем через точку M ₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x ₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x ₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c ₁ между c ₀ и x ₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x > x ₀. Тогда x ₀ < c ₁ < c < x, следовательно, (x – x ₀) > 0 и (c – x ₀) > 0. Поэтому .
2. Пусть x < x ₀, следовательно, x < c < c ₁ < x ₀ и (x – x ₀) < 0, (c – x ₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x ₀ Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла вверх.

25. Определение точки перегиба. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба графика функции y= f(x)

Определение. Рассмотрим функцию y=f(x), которая непрерывна и дифференцируема в точке х₀.
Если при переходе через х₀ функция меняет направление выпуклости, т.е. существует число δ>0, такое, что на одном из интервалов (х₀ - δ, х₀) или (х₀, х₀ + δ) функция является выпуклой вверх, а на другом – выпуклой вниз, то х₀ называется точкой перегиба функции y=f(x).

Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую.

            x<x₀                                        x>x₀
            f”(x) <0                                  f”(x)>0
            f’(x) ↓                                   f’(x) ↑

 

Доказательство.

Дано: х₀ – абсцисса точки перегиба функции y=f(x)
Предположим, что в точке перегиба х₀ вторая производная существует и не равна нулю:
f ’’(х₀)≠0.

Поскольку f’’(x) – непрерывна, то по свойству непрерывной функции она сохраняет знак в точке х₀ и её окрестности. 

f ’’(х₀)<0 ∀x∈(х₀−δ,х₀+δ) или f ’’(х₀) >0 ∀x∈(х₀−δ,х₀+δ)

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх (при f’’’(x)<0), либо строго выпукла вниз (при f ’’ (x)>0). Но тогда точка х₀ не является точкой перегиба, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно и вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

 

Согласно необходимому условию существования точки перегиба, эти точки находятся среди точек, в которых f ’’(x) равна нулю либо не существует. Точки, в которых f ”(x) равна нулю либо не существует, называются критическими для перегиба (или подозрительными на перегиб), однако не во всякой критической точке будет точка перегиба.

Первое достаточное условие существования точки перегиба

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x₀, имеет вторую производную f′′(x₀) в некоторой проколотой δ-окрестности точки x₀ и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f′′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в левой δ-окрестности (x₀−δ,x₀) выполняется неравенство f′′(x)>0, а в правой δ-окрестности (x₀,x₀+δ) справедливо неравенство f′′(x)<0.

В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости, функция f(x) выпукла вниз в левой δ-окрестности точки x₀ и выпукла вверх в правой δ-окрестности.

Следовательно, в точке x₀ функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению, точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования точки перегиба
Пусть f′′(x₀)=0, f′′′(x₀)≠0. Тогда точка x₀ является точкой перегиба функции f(x).
Доказательство.
Поскольку f′′′(x₀)≠0, то вторая производная в точке x₀ либо строго возрастает (если f′′′(x₀)>0), либо строго убывает (если f′′′(x₀)<0). Так как f′′(x₀)=0, то вторая производная при некотором δ>0 имеет разные знаки в левой и правой δ-окрестности точки x₀. Отсюда, на основании предыдущей теоремы, следует что x₀ − точка перегиба функции f(x).

26 Асимптоты графика функции y = f (x). Нахождение вертикальных и наклонных асимптот. Теорема о существовании наклонной асимптоты графика функции (доказательство).

Асимптоты графика функции

Пусть точка М(x;y) перемещается по графику функции y=f(x), неограниченно удаляясь от начала

координат. Если при этом расстояние от т.М до некоторой прямой стремится к 0, то такая прямая-

асимптота графика функции y=f(x)

.           

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой Г, если расстояние от точки М кривой Г до

прямой L стремится к нулю, когда точка М, двигаясь по кривой, бесконечно удаляется от начала

координат.

Различают два вида асимптот: наклонные и вертикальные. Горизонтальные- частный случай НА.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота- вертикальная прямая, уравнение которой .

Если функция ,или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен , то - точка бесконечного разрыва.

Верно обратное утверждение: если  – точка бесконечного разрыва функции y=f(x) или второго рода, то хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, т.е.              . Это означает, что расстояние , следовательно по определению ВА  – точка бесконечного разрыва функции y=f(x).

Вывод: для нахождения вертикальной асимптоты  графика функции y=f(x) надо найти т.  

бесконечного разрыва этой функции.

Наклонная асимптота

НА имеет вид y=kx+b

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту L: y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы ,

Необходимость

Дано: L: y=kx+b – НА графика функции.

Доказать: ,

Док-во:

MР перп. L

МN перп. 0X

MP=

Распишем MN:

MР перп. L

МN перп. 0X

MP=

Распишем MN:

,

Достаточность

Дано: L: y=kx+b – НА графика функции . ,

Доказать:: L: y=kx+b – НА графика функции .

Док-во:

Найдем разность ординат графика функции y=f(x) и прямой L: y=kx+b

       (по определению НА): L: y=kx+b – НА графика функции .

Вывод

y=kx+b, где ,  

Замечание

График функции может пересекать наклонную асимптоту, но вертикальную не пересекает.

 

 

Экзаменационные билеты к экзамену по высшей математике

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26

1. Определение предела функции y = f (x) при x x . Геометрическая интерпретация. Доказательство теоремы о разности функции и ее предела.

Число а называют пределом функции у = f (х) в точке (при x→x0), если для любого сколь угодно малого Е >0, найдется соответствующее нему число δ >0 зависящее от Е, что для всех х≠х0, которые удовлетворяют неравенству 0<|х – х0|<Е, будет выполняться | f (х)-а|< Е.
∃ lim f(x)=a (x→x0):= Е>0 ∃ 𝛿= 𝛿(Е)>0: ∀х:0<|𝑥−𝑥0|<Е ⇒ |f (х)-а|< Е

                                     Односторонние пределы функции при х→х0
Число а называется правым(левым) пределом функции f(x), если при стремлении х к х0 справа(слева) значение f(x) неограниченно приближается к числу а.
lim f(x) = f(x0+0) (x→х0+0) – правый предел
lim f(x) = f(x0-0) (x→х0-0) – левый предел
Оба предела односторонние.
Если существуют и равны числу а односторонние пределы в т. х0, то существует и предел функции в т. х0 равный а. f(х0+0)=f(x0-0)=a lim f(x)=a (x→x0)

                                       Геометрический смысл предела функции:
Для любого сколь угодно малого E>0, задающего E-полосу между прямыми у=а+E и у=а-Е, всегда найдется число δ= δ(Е), которое определит выколотую δ окрестность точки х0 на ОХ: как только как только х попадает в эту окрестность график функции попадает в узкую Е полосу
Замечание: для предела lim f(x)=a (x→х0) не требуется чтобы функция была определена в т. х0, т.к. рассматривается выколотая δ окрестность точки х0
                    Теорема о разности между переменной величиной и ее пределом
Для того, чтобы f(x) имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы она была представлена в видела предела а и бесконечно малой величины α(x) т.е. в виде y=a+ α(x)
Необходимость
► Дано: lim f(x)=a (x→x0); Доказать: f(x)=a+ α(x)
Доказательство: ∃ lim f(x)=a (x→x0):= Е>0 ∃ 𝛿= 𝛿(Е)>0: ∀х:0<|𝑥−𝑥0|<𝛿 ⇒ |f (х)-а|< Е
т.е. при х→х0 f(x)-a – сколь угодно малая величина
Обозначим f(x)-a = α(x), где α(x) бесконечно малая при х→х0
Тогда при х→х0 f(x)= a+ α(x), где α(x) бесконечно малая при х→х0  ▼
Достаточность
► Дано: f(x)=a+ α(x); Доказать: lim f(x)=a (x→x0)
Доказательство: По условию α(x)= f(x)-a бесконечно малая при х→х0, тогда по определению б.м. при х→х0 | α(x)|< Е, Е – сколь угодно малое положительное число / |f (х)-а|< Е, что означает по определению предела функции, что lim f(x)=a (x→x0) ▼

3.Определение бесконечно большой величины при x x Геометрическая интерпретация. Доказательство теоремы о связи бесконечно большой и бесконечно малой.

Функция 𝑦=𝑓(𝑥) называется бесконечно большой при 𝑥→𝑥0, если для

любого сколько угодно большого положительного числа 𝑀 существуют

такое положительное число 𝛿 (зависящее от 𝑀), что для всех точек 𝑥 из -

окрестности точти 𝑥0 будет выполняться неравенство |𝑓(𝑥)|>𝑀.

∀𝑀>0 ∃𝛿=𝛿(𝑀),∀𝑥:0<|𝑥−𝑥0|<𝛿⇒|𝑓(𝑥)|>𝑀

 

Функция 𝑦=𝑓(𝑥) называется бесконечно большой при 𝑥→∞, если для

любого сколько угодно большого положительного числа 𝑀 найдется такое

положительное чисто