Сложная функция, непрерывность сложной функции.

Пусть функция u=u(x) определена для ∀х ∈ D (D-область определения функции u=u(x)), пусть область значения функции u=u(x) - множество G, т.е. u ∈ G. Рассмотрим в области G функцию y=f(u), причем множество значений u содержится в области определения функции f(u), тогда каждому x по правилу f(u(x)) можно сопоставить число y=(f(u(x))).
Функция y=f(u(x)) - сложная функция переменной x.

                                                        Внешняя функция

 

                                                                 Внутренняя функция Независимая переменная

Пусть функции u=u(x) непрерывна в точке x₀, а функция y=f(u) непрерывна в точке u₀=u(x₀). Тогда сложная функция f(u(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x₀.
Доказательство. В силу непрерывности функции u=u(x) , т.е.при x→x₀ имеем u→u₀. Поэтому, вследствие непрерывности функции y=f(u) имеем:

Это и доказывает, что сложная функция y=f(u(x)) непрерывна в точке x₀.

11. Определение производной функции y=f(x), ее геометрический смысл (обоснование). Уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x)

❶ Определение

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке, к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначения:y’(x); f’(x);  ;

 

❷ Геометрический смысл производной

              Y

                                                                                                        Г

                                                                                                        M

 

 

      Δ Y

                                                        α      β

                                          M ₀                                    К

                                                                                           X

                  

                         x ₀                     Δ x                  x = x ₀ + Δ x                                                 

                                 

Пусть кривая Г задается уравнением y=f(x). Возьмем произвольную точку на прямой Г (точка М₀). М₀М – секущая графика функции y=f(x). М ∈ Г. Устремим точку М к точке М₀ по графику функции; получим новую секущую. Секущая М₀М, меняя положение, займет в пределе положение касательной.

 ; ; ⇒ (1)

(2)

Подставив (2) в (1) получим:

● - угловой коэффициент касательной графика функции y = f (x)

Тогда:

Геометрический смысл производной:

“Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ .”

❸ Уравнение касательной к кривой y=f(x)

Уравнение касательной к графику функции f(x)– это уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀).

По геометрическому смыслу производной в точке Тогда

 – искомое уравнение касательной.

❹ Уравнение нормали к кривой y=f(x)

Нормалью к графику функции f(x) в точке М₀ называется перпендикуляр, проведенный к касательной в точке касания М₀ (x₀, y₀).

⇒

Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке М₀ - это уравнение прямой по точке М₀ (x₀,y₀) и угловому коэффициенту нормали, который равен .

- искомое уравнение нормали

 

12.Вывод формулы для производных функций y=e x, y=ln x, y= sin x, y=tg x, y=a x, y=loga x.

y=sinx

 

Воспользуемся формулой разности синусов:                                                                                                                                                                                                               

 

 y=tgx

.

 y=a^x

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.