Задача 1. Рассчитать: моду, медиану и квартили в интервальном вариационном ряду.

К структурным средним вариационного ряда относятся: мода, медиана и квартили. Исходные данные для расчета данных показателей приведены в таблице 1

 

Таблица 1 - Распределение численности безработных, зарегистрированных в органах федеральной службы занятости региона, по продолжительности поиска работы

Показатель	Продолжительность безработицы, мес.
	до 1	1 – 4	4 – 8	8 – 12	более 12
Численность официально зарегистрированных безработных, тыс. чел.	3,9	10,4	8,5	11,1	14,0

 

Для удобства и наглядности вычислений моды в интервальном вариационном ряду преобразуем таблицу 1 к виду таблицы 2.

 

Таблица 2 - К расчету моды в интервальном вариационном ряду

Обозначение
Показатель	12	4	14,0	11,1	0

 

Мода () - значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой. Наибольшее число официально зарегистрированных безработных в 14 тыс. чел. находились без работы более 12 мес. Такой разброс значений в продолжительности безработицы определяет модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. Модав интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

,                                           (1)

 

где  – нижняя граница модального интервала;  – величина модального интервала;  – частота модального интервала;  () – текущая частота интервала, предшествующего модальному (следующего за модальным).

мес.

Для удобства и наглядности вычислений медианы и квартилей в интервальном вариационном ряду преобразуем таблицу 1 к виду таблицы 3.

 

Таблица 3 - К расчету медианы и квартилей в интервальном вариационном ряду

			Интервалы	Для нижнего квартиля	Для медианы	Для верхнего квартиля
до 1	3,9	3,9	-
1 - 4	10,4	14,3	интервал нижнего квартиля
4 - 8	8,5	22,8	-
8 – 12	11,1	33,9	медианный интервал
более 12	14,0	47,9	интервал верхнего квартиля

 

Медиана () - значение признака, приходящегося на середину упорядоченной совокупности. Медианным интервал, т.е. интервалом, содержащим медиану, является первый интервал, накопленная частота которого превышает номер медианы. Номер медианы () определяется по формуле:

                                                                                               (2)

 тыс. чел.

Медианным будет являться интервал с продолжительностью безработицы от 8 до 12 мес., поскольку его накопленная частота 33,9 тыс. чел. первая превышает номер медианы 24 тыс. чел. Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

,                                                                       (3)

где  – нижняя граница медианного интервала;  – величина медианного интервала;  - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;  – текущая частота медианного интервала.

 мес.

Квартили - значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Нижний квартиль (Q_I) отделяет ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, верхний квартиль (Q_III), отделяет ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q_I; 25% единиц будут заключены между Q_I  и Q_II; 25% единиц будут заключены между Q_II  и Q_III; 25% единиц будут превосходить Q_III. При этом средним квартилем Q_II  является медиана.

Интервал нижнего квартиля, т.е. интервалом, содержащим нижний квартиль, является первый интервал, накопленная частота которого превышает номер нижнего квартиля. Номер нижнего квартиля () определяется по формуле:

                                                                                                (4)

 тыс. чел.

Интервалом нижнего квартиля будет являться интервал с продолжительностью безработицы от 1 до 4 мес., поскольку его накопленная частота 14,3 тыс. чел. первая превышает номер нижнего квартиля 12 тыс. чел. Нижний квартиль в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

,                                                                         (5)

где  – нижняя граница интервала нижнего квартиля;  – величина интервала нижнего квартиля;  - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу нижнего квартиля;  – текущая частота интервала нижнего квартиля.

мес.

Интервал верхнего квартиля, т.е. интервалом, содержащим верхний квартиль, является первый интервал, накопленная частота которого превышает номер верхнего квартиля. Номер верхнего квартиля () определяется по формуле:

                                                                                          (6)

 тыс. чел.

Интервалом верхнего квартиля будет являться интервал с продолжительностью безработицы более 12 мес., поскольку его накопленная частота 47,9 тыс. чел. первая превышает номер верхнего квартиля 36 тыс. чел. Верхний квартиль в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

,                                                                   (7)

где  – нижняя граница интервала верхнего квартиля;  – величина интервала верхнего квартиля;  - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу верхнего квартиля;  – текущая частота интервала верхнего квартиля.

мес.