Оценка параметров генеральной совокупности

Характеристики положения

Основными параметрами генеральной совокупности являются математическое ожидание (генеральная средняя) М(Х) и среднее квадратическое отклонение s. Это постоянные величины, которые можно оценить по выборочным данным. Оценка генерального параметра, выражаемая одним числом, называется точечной.

Точечной оценкой генеральной средней является выборочное среднее .

Выборочным средним называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂,..., x_n признака выборки различны (или если данные не сгруппированы), то:

Если же все значения признака x₁, x₂,..., x_n имеют соответственно частоты n₁, n₂,..., n_k, причем n₁ + n₂ +...+ n_k = n (или если выборочное среднее вычисляется по вариационному ряду), то

В том случае, когда статистические данные представлены в виде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего значениями вариант считают середины интервалов.

Выборочное среднее является основной характеристикой положения, показывает центр распределения совокупности, позволяет охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом, проследить тенденцию развития, сравнить различные совокупности (выборочное среднее является той точкой, сумма отклонений наблюдений от которой равна 0).

Для оценки степени разброса (отклонения) какого-то показателя от его среднего значения, наряду с максимальным и минимальным значениями, используются понятия дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия выборки или выборочная дисперсия (от английского variance) – это мера изменчивости переменной. Термин впервые введен Фишером в 1918 году.

Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения x₁, x₂,..., x_n признака выборки объема n различны, то:

Если же все значения признака x₁, x₂,..., x_n имеют соответственно частоты n₁, n₂,..., n_k, причем n₁ + n₂ +...+ n_k = n, то

Дисперсия меняется от нуля до бесконечности. Крайнее значение 0 означает отсутствие изменчивости, когда значения переменной постоянны.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), (от английского standard deviation) вычисляется как корень квадратный из дисперсии.

Чем выше дисперсия или стандартное отклонение, тем сильнее разбросаны значения переменной относительно среднего.

Непараметрическими характеристиками положения являются мода и медиана.

Модой M_o называется варианта, имеющая наибольшую частоту или относительную частоту.

Медианой M_e называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При нечетном числе вариант (n=2k+1)

M_e = x_k+1,

а при четном числе вариант (n=2k)

M_e = (x_k + x_k+1)/2.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика. – М.: издательство «Дрофа», 2009.

1. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И. Математика и информатика. М.: Издательский центр «Академия», 2010.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, стер.. - М.: Высш. шк., 1997.
   Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.

4. Григорьев С. Г., Задулина С. В. Математика: учебник для студ. сред.проф. учреждений. – 3-е изд. – М.: ОИЦ «Академия», 2009.

5. Дадаян А. А. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов. – М.: Форум: Инфра-М, 2010.

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник Москва, ЮНИТИ 2000
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов. Учебник-М.ЮНИТИ 2001.
3. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: С контрольными работами: линейная алгебра; аналитическая геометрия; основы математического анализа; комплексные числа / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. - М.: Айрис-пресс, 2011. - 576 c.