Практическая работа № 9. Однофакторный дисперсионный анализ

Структура однофакторного дисперсионного комплекса. Структура однофакторного дисперсионного комплекса представлена в табл. 9.1:

Таблица 9.1. Структура однофакторного дисперсионного комплекса

Градации фактора	Отдельные наблюдения (xij)							Σ xi .	ni .
	1	2	3	…	j	…	n
1				…		…		Σ x1 .	n 1.
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
i				…		…		Σ xi .	ni .
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
a				…		…		Σ xa .	na .
								Σ x. .	N

Типы варьирования вариант вокруг средних в однофакторном комплексе. В однофакторном дисперсионном комплексе различают три типа варьирования вариант:

1) общее:варьирование отдельных вариант (x_ij) вокруг средней по комплексу ();

2) факториальное:варьирование групповых средних (средних по градациям фактора – ) вокруг средней по комплексу ();

3) случайное:варьирование отдельных вариант (x_ij) по градациям фактора вокруг средней по градации ().

Вычисление сумм квадратов отклонений вариант от средних (SS). SS является аббревиатурой двух английских слов: «sum» - «сумма» и «square» - «квадрат». Вычисляются 3 суммы отклонений: общая (SS_y), факториальная (SS_А) и случайная (SS_z) по следующим формулам.

Общая сумма квадратов отклонений (SS_y):

Сумма квадратов отклонений по фактору А (SS_A):

 (для неравномерных комплексов)

 (для равномерных комплексов)

Случайная сумма квадратов отклонений (SS_z):

 (для неравномерных комплексов)

(для равномерных комплексов)

Проверочное действие:

Общие замечания, на которые следует обратить внимание при вычислении сумм квадратов отклонений: 1) SS всегда≥0, если SS = 0,вариация переменного отсутствует; 2) при вычислении SS округления не проводят.

Числа степеней свободы (df). df является аббревиатурой двух английских слов: «date» - «число» и «freedom» - «свобода». Вычисляются следующие числа степеней свободы: общая (df_y), факториальная (df_A) и случайная (df_z) по следующим формулам:

Проверочное действие:

Числа степеней свободы представляют собой положительные и целые числа.

Средние квадраты (ms). «ms» является аббревиатурой двух английских слов: «middle» - «средний» и «square» - «квадрат». Вычисляются 2 средних квадрата: факториальный (ms_A) и остаточный, случайный (ms_z) как частные от деления SS на соответствующее число степеней свободы:

При проведении вычислений средние квадраты не округляют.

Критерии Фишера (F). Вычисляют одно значение критерия Фишера – F_A, как частное от деления факториального среднего квадрата на остаточный средний квадрат:

Эмпирическое значение критерия Фишера округляют до второго знака после запятой.

Стандартные значения критерия Фишера находят по таблицам (приложения 2.4 и 2.5) для двух уровней значимости: 5% (F ₀₅) и 1%(F ₀₁)

В таблицах стандартных значений критерия Фишера имеются 2 ввода: df ₁ – столбцы таблицы, которые соответствуют факториальному числу степеней свободы (df _A) и df ₂ – строки таблицы, соответствующие остаточному числу степеней свободы (df _z), на их пересечении находится искомое значение критерия Фишера. Таблиц стандартных значений критерия Фишера две, одна – для 1% уровня значимости, другая – для 5%.

Если эмпирическое значение F_A > F ₀₅ и F_A > F ₀₁, нулевая гипотеза об отсутствии влияния фактора отклоняется на 1% уровне значимости, то есть, фактор достоверно с вероятностью 0,99 влияет на изменчивость переменной.

Если F ₀₅ < F_A < F ₀₁, то на 5% уровне значимости нулевая гипотеза отклоняется (фактор влияет), а на 1% уровне значимости – принимается (фактор не влияет). В этом случае рекомендуется продолжить экспериментальные исследования по изучению влияния данного фактора на большем объеме выборки.

Если F_A < F₀₅, то нулевая гипотеза принимается, то есть, фактор не влияет на изменчивость переменного, на этом дисперсионный анализ завершается.

Структура факториального среднего квадрата, вычисление дисперсий (σ ²). Если доказана достоверность влияния фактора, проводят анализ структуры факториального среднего квадрата и вычисляют дисперсии. Дисперсии необходимы для вычисления долей влияния факторов и случайной вариации.

Дисперсия случайной вариации численно равна остаточному среднему квадрату (ms_z):

Структура факториального среднего квадрата следующая:

Где  - среднее число наблюдений по одной градации фактора, для неравномерного комплекса находится по формуле:

Если дисперсионный комплекс равномерный,

Исходя из этого вычисляется факториальная дисперсия (σ_А ²):

Общая дисперсия представляет собой сумму факториальной и остаточной дисперсий:

Дисперсии обычно округляют до двух знаков после запятой.

Доли влияния факторов и случайной вариации (pⁱⁿ %). Вычисление долей влияния факторов и случайной вариации позволяет оценить степень их влияния на изменчивость переменного. Доли обычно выражаются в %, а также в долях единицы (без умножения на 100):

Доли влияния, вычисленные в процентах, округляют до целых значений чисел, в долях единицы – до сотых долей.

Вычисление наименьшей существенной разности (НСР). НСР позволяет оценить достоверность различий между средними по градациям фактора. НСР представляет собой произведение ошибки средних по градациям фактора () на стандартное значение критерия Тьюки (Q ₀₅). Ошибка средних вычисляется по формуле:

Критерий Тьюки (Q ₀₅) берется из таблицы (приложение 2.6), в которой два ввода: 1) столбцы - число средних по градациям фактора – а; 2) строки - значение df _z. На их пересечении расположен Q ₀₅.

НСР вычисляют с той же точностью, что и средние по градациям фактора в дисперсионном комплексе.

Оценка достоверности различий между средними по градациям фактора (). Для оценки достоверности различий необходимо сформировать и заполнить матрицу парных различий между средними по градациям фактора (табл. 9.2.). Поскольку матрица симметрична относительно диагонали заполняется либо верхняя треугольная часть (как в табл. 9.2.) либо нижняя. Разности обычно приводят по абсолютной величине.

Таблица 9.2. Разности между средними по градациям фактора А

Градации фактора