Моделирование и анализ данных в садоводстве

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ДАННЫХ В САДОВОДСТВЕ

 

 

Рабочая тетрадь

Для магистров

направление 35.04.05 «Садоводство»

 

 

МОСКВА 2019

Моделирование и анализ данных в садоводстве: Рабочая тетрадь для магистров / А.В.Исачкин, В.А.Крючкова. М.: Изд-во РГАУ – МСХА, 2019. с.

 

 

Рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией факультета садоводства и ландшафтной архитектуры (протокол № 10 от 18.апреля 2019 г.)

 

 

© Исачкин А.В., Крючкова В.А.,

составители, 2019

© ФГБОУ ВО РГАУ – МСХА

имени К.А.Тимирязева, 2019

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ.. 4

Раздел I. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫБОРКИ.. 5

Практическое занятие №1. Шкалы измерения переменных.. 5

Практическое занятие №2. Статистические параметры выборки и доверительные интервалы.. 12

Практическое занятие №3. Определение достаточного объема выборки для переменных в числовых шкалах 18

Практическое занятие №4. Анализ альтернативной изменчивости.. 22

Практическое занятие №5. Определение достаточного объема выборки при альтернативной вариации 25

Раздел II. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. 29

Практическая работа № 6. Алгоритмы вычисления коэффициентов корреляции.. 29

Практическая работа № 7. Алгоритмы вычисления коэффициентов регрессии.. 39

Практическая работа № 8. Достоверность и доверительные интервалы коэффициентов корреляции и коэффициентов регрессии.. 48

Раздел III. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ. 55

Практическая работа № 9. Однофакторный дисперсионный анализ. 55

Практическая работа №10. Двухфакторный дисперсионный анализ. 63

Практическое занятие №11. Трехфакторный дисперсионный анализ. 75

Приложение «СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ». 93

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 108

 

АННОТАЦИЯ

Дисциплина «Моделирование и анализ данных в садоводстве» - одна из обязательных учебных дисциплин профессионального цикла в системе подготовки магистров по направлению 35.04.05 «Садоводство». Дисциплина имеет теоретическую и практико-ориентированную направленность. При реализации знаний и умений, полученных в результате изучения дисциплины «Моделирование и анализ данных в садоводстве» в профессиональной деятельности магистр должен уметь: 1) проводить статистический анализ выборки; 2) проводить корреляционно-регрессионный анализ; 3) проводить дисперсионный анализ; 4) интерпретировать результаты статистического анализа данных; 5) представлять результаты анализа данных.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов), в том числе, аудиторных занятий: 22 часа (практические занятия).

Дисциплина «Моделирование и анализ данных в садоводстве» состоит из трех взаимосвязанных разделов: раздел № 1 «Статистический анализ выборки»; раздел № 2 «Корреляционно-регрессионный анализ»; раздел № 3 «Дисперсионный анализ».

Промежуточный контроль: зачет с оценкой.

isachkinalex@mail.ru

имя файла: ФамилияИОномерработы

25888888888

Раздел I. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫБОРКИ

Практическое занятие №1. Шкалы измерения переменных

Основные понятия

Ш кала – это способ измерения (оценки) переменного.

Переменное – варьирующий признак (характеристика, атрибут) того или иного материального объекта исследования (растение, орган растения, группа растений, кислотность почвы, температура воздуха и т.п.).

Общие свойства переменных – 1) наличие или отсутствие правила ранжирования состояний переменного; 2) наличие или отсутствие заданного интервала между состояниями переменного; 3) наличие или отсутствие условного ноля как одного из состояний переменного; 4) наличие или отсутствие абсолютного ноля (минимального нижнего предела), то есть минимального значения состояний переменного; 5) наличие или отсутствие верхнего предела, то есть, максимального значения состояний переменного.

Типы шкал: 1) номинальная, 2) порядковая, 3) числовая.

Номинальная шкала

Синонимы термина «номинальная шкала»: качественная, категориальная, шкала наименований, классификационная шкала.

Качественное переменное – переменное, состояния которого немногочисленны и их невозможно измерить (представить в виде числа).

Модальность – состояние номинального переменного.

Исходные данные для анализа – частоты встречаемости тех или иных модальностей в выборке.

Используемые математические связи – тождество (А≡В), различие (А≠В).

Свойства номинальной шкалы: 1) правило ранжирования модальностей отсутствует; 2) интервал между модальностями не задан; 3) условный ноль как одно из возможных состояний переменного отсутствует; 4) абсолютный ноль как минимальный предел, к которому стремятся модальности, отсутствует; 5) максимальный предел, к которому стремятся модальности, отсутствует.

Главная отличительная особенность: отсутствие правила ранжирования модальностей.

Преимущества: абсолютная универсальность; простота и быстрота оценки; высокая робастность (устойчивость к помехам); оценка проводится без инструментов.

Недостатки: субъективность оценок; низкая статистическая мощность (увеличение доли ошибок второго рода).

Практическое задание 1.1. Приведите примеры признаков садовых растений, для которых используется номинальная шкала:

название растения	признак	модальности

Практическое задание 1.2. Форма плода у 50 сортов яблони:

Модальность	Число сортов
Округлая	17
плоскоокруглая	10
Яйцевидная	7
Овальная	13
цилиндрическая	3

Постройте гистограмму частот встречаемости различных модальностей формы плода:

Решение:

 

 

Порядковая шкала

Синонимы термина «порядковая шкала – ранговая, балльная.

Балл – состояние переменного в порядковой шкале, как правило выражается натуральными числами, реже – дробями.

Исходные данные для анализа – частоты встречаемости баллов в выборке.

Ранг (R) – порядковый номер балла в ранжированном балльном ряду.

Используемые математические связи – тождество (А≡В), различие (А≠В); больше (А>В), меньше (А<В).

Свойства номинальной шкалы: 1) правило ранжирования состояний переменных имеется; 2) интервал между состояниями переменных не задан; 3) условный ноль как одно из возможных состояний переменного отсутствует; 4) абсолютный ноль как минимальный предел, к которому стремятся состояния переменных, отсутствует; 5) максимальный предел к которому стремятся

состояния переменных, отсутствует.

Главная отличительная особенность – наличие правила ранжирования состояний переменного.

Преимущества – относительная универсальность, простота и быстрота оценки, относительно высокая робастность, оценка проводится без инструментов.

Недостатки – относительная субъективность, относительно низкая статистическая мощность (увеличение доли ошибок второго рода).

Преобразование баллов в ранги: шаг 1 – ранжирование баллов в порядке возрастания или убывания по изучаемой переменной; шаг 2 – определение порядковых номеров для каждого балла в ранжированном ряду; шаг 3 – определение рангов R_i (в случае наличия нескольких объектов с одинаковыми баллами рангом будем медиана среди них); шаг 4 – проверочное действие: сумма всех рангов переменных в выборке должна быть равна сумме порядковых номеров этих переменных.

Практическое задание 1.3. Приведите примеры признаков садовых растений, для которых используется порядковая шкала:

название растения	признаки

Практическое задание 1.4. Разработайте 3-х балльные шкалы для признаков, измеряемых в порядковой шкале:

Признак	Балл	Характеристика

Практическое задание 1.5. Проведите преобразование баллов в ранги при оценке продуктивности 15 сортов груши: 2; 4; 1; 1; 0; 3; 5; 2; 4; 2; 3; 3; 3; 5; 0

баллы ранж.

№ п.п.

Ri

Решение:

Практическое задание 1.6. Изучали степень поражения 20 сортов крыжовника мучнистой росой. Установлены следующие частоты встречаемости сортов с различной степенью поражения:

Балл поражения мучнистой росой	Число сортов
0	3
1	3
2	6
3	6
4	2

Постройте гистограмму частот встречаемости различных модальностей формы плода:

Решение:

Числовые шкалы

Варианта (x _i) –состояние переменного в числовых шкалах, выражается числом.

Используемые математические связи – тождество (А≡В), различие (А≠В); больше (А>В), меньше (А<В), сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование и т.п.

Типы числовых шкал – интервальная, шкала отношений, абсолютная шкала.

Общие свойства числовых шкал: 1) правило ранжирования состояний переменных имеется; 2) интервал между состояниями переменных определен.

Главная отличительная особенность – наличие заданного интервала между вариантами.

Преимущества – объективность измерений, максимальная статистическая мощность.

Недостатки – для измерений в большинстве случаев необходимы инструменты, низкая скорость оценок, используются только для признаков, у которых состояния можно измерить; низкая робастность.

Интервальная шкала

Интервальная шкалой называют числовую шкалу, для которой характерно наличие условного ноля, левее которого измерения выражаются отрицательными числами, правее – положительными.

Свойства интервальной шкалы: 1) правило ранжирования состояний переменного имеется; 2) интервал между состояниями переменного задан; 3) условный ноль как одно из возможных состояний переменного, имеется; 4) абсолютный ноль как минимальный предел, к которому стремятся состояния переменных, отсутствует; 5) максимальный предел, к которому стремятся состояния переменных, отсутствует.

Главные отличительные особенности интервальной шкалы: 1) наличие условного ноля; 2) варианты представляют собой как положительные, так и отрицательные числа.

Практическое задание 1.7. Приведите примеры интервальных числовых признаков, которые используются в садоводстве:

признаки

Практическое задание 1.8. Динамика среднесуточной температуры воздуха в период с 25.11.2003 г. по 14.12.2003 г.:

Дата	25.11	26.11	27.11	28.11	29.11	30.11	01.12	02.12	03.12	04.12
toC	4	2	2	3	5	1	1	0	0	2
Дата	05.12	06.12	07.12	08.12	09.12	10.12	11.12	12.12	13.12	14.12
toC	1	0	-2	-2	0	-4	-6	-6	-5	-3

Постройте график динамики среднесуточной температуры воздуха:

Решение:

 

 

Шкала отношений

Шкалой отношений называют такую числовую шкалу, для которой характерно наличие абсолютного ноля, представляющего минимальный предел, к которому стремятся состояния переменных и отсутствие верхнего (максимального) предела варьирования.

Свойства интервальной шкалы: 1) правило ранжирования состояний переменного имеется; 2) интервал между состояниями переменного задан; 3) условный ноль как одно из возможных состояний переменного отсутствует; 4) абсолютный ноль как минимальный предел (абсолютный минимум), к которому стремятся состояния переменн2ых, имеется; 5) максимальный предел (абсолютный максимум), к которому стремятся состояния переменных, отсутствует.

Главные отличительные особенности шкалы отношений: 1) наличие абсолютного ноля; 2) отсутствие абсолютного максимума.

Практическое задание 1.9. Приведите примеры признаков, измеряемых в шкале отношений, у различных садовых растений:

название растения	признаки

Практическое задание 1. 10. Длина листовой пластинки у 57 сортов спиреи японской, см:

4,2	4,8	3,9	4,6	4,3	4,8	4,2	4,0	4,7	4,8	3,8	4,6	4,1	4,3	4,2	4,8	4,1	3,9	4,5
4,8	5,1	4,6	4,8	4,9	4,7	4,9	4,6	5,0	4,7	4,3	4,9	4,5	4,6	4,4	5,1	5,0	4,9	4,7
4,9	5,3	5,2	4,9	4,7	4,8	5,2	4,7	5,1	4,9	4,6	4,9	5,3	5,1	5,0	5,4	4,7	4,6	4,9

Постройте гистограмму частот встречаемости различных сортов спиреи японской по длине листовой пластинки:

Решение:

Абсолютная шкала

Абсолютной шкалой называют такую числовую шкалу, для которой характерно наличие и абсолютного ноля (минимального предела) и максимального предела варьирования.

Свойства абсолютной шкалы – 1) правило ранжирования состояний переменного имеется; 2) интервал между состояниями переменного задан; 3) условный ноль как одно из возможных состояний переменного отсутствует; 4) абсолютный ноль как минимальный предел, к которому стремятся состояния переменных, имеется; 5) максимальный предел, к которому стремятся состояния переменных, имеется.

Главные отличительные особенности абсолютной шкалы: 1) наличие минимального и максимального пределов; 2) отсутствие размерности переменных.

Практическое задание 1.11. Приведите примеры признаков, измеряемых в абсолютной шкале, у различных садовых растений:

название растения	признаки

Практическое задание 1. 12. Доля укоренившихся зеленых черенков у 30 сортов чайно-гибридной розы:

№ сорта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
% укореняемости	23	57	35	66	32	48	70	55	42	29
№ сорта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
% укореняемости	36	40	24	43	55	78	46	51	73	52
№ сорта	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
% укореняемости	19	22	63	57	20	32	30	45	56	33

Постройте гистограмму частот распределения 30 сортов по укореняемости зеленых черенков:

Решение:

 

 

Работа сдана «____» ______________ 20__ г.

__________________________________

(подпись студента, электронная

Параметры средней тенденции

Мода

Мода (Мо) – для номинальной и порядковых шкал – состояние переменного, встречающееся в выборке с максимальной частотой.

Мода (Мо) – для числовых шкал – середина модального класса или классов.

Модальный класс – класс, встречающийся с максимальной частотой.

Преимущества – простота определения, вычисляется во всех шкалах.

Недостатки – низкая статистическая мощность и информативность, наличие нескольких мод в выборке,

Медиана

Медиана (Ме) – это значение переменного, которое находится точно в середине (центре) ранжированного вариационного ряда. Медиана вычисляется только для данных, измеренных в порядковой и числовых шкалах.

Вычисление медианы зависит от четного или нечетного числа объектов в выборке:

1) четное число объектов – для точного нахождения нижней и верхней медиан в больших выборках с четным N необходимо сначала установить порядковые номера нижней и верхней медиан в ранжированном ряду:

порядковый номер нижней Me _н =  (N – четное)

порядковый номер верхней Me _в =  (N – четное)

Затем необходимо найти соответствующие этим порядковым номерам значения нижней и верхней медиан в ранжированном ряду и вычислить среднее между ними, которое и будет искомой медианой.

2) нечетное число объектов – необходимо сначала установить ее порядковый номер в ранжированном ряду по формуле:

порядковый номер Me =  (N – нечетное)

Затем необходимо найти соответствующее этому порядковому номеру значение медианы в ранжированном ряду.

Свойства медианы –) медиана в выборке всегда одна; 2) медиана относительно устойчива (робастна), и наименее зависит от значений отдельных вариант в выборке (высокая робастность).

Пример 1. Найти медианы в двух ранжированных выборках:

Выборка 1: x_i = 1; 2; 2; 3; 3; 4; 5 (N =7).

Выборка 2: x_i = 1; 2; 2; 3; 3; 4 (N =6).

Решение:

1) Определим порядковые номера ранжированных вариант в выборке 1:

xi	1	2	2	3	3	4	5
№ п.п.	1	2	3	4	5	6	7

В первой выборке N – нечетное число (N =7), тогда:

порядковый номер Me =

Порядковому номеру «4» соответствует варианта «3», то есть Ме ₁ = 3.

2) Определим порядковые номера ранжированных вариант в выборке 2:

xi	1	2	2	3	3	4
№ п.п.	1	2	3	4	5	6

Во второй выборке N – четное число (N =6), тогда

порядковый номер нижней Me =

порядковый номер верхней Me =

Порядковому номеру «3» соответствует варианта «2», то есть нижняя Ме = 2. Порядковому номеру «4» соответствует варианта «3», то есть, верхняя Ме = 3 Тогда:

Пример 2. Изучали изменчивость опушения нижней стороны листовой пластинки (в баллах) у 9 образцов сливы домашней:

 

№ образца	Опушение листовой пластинки, балл
1	2
2	2
3	1
4	3
5	3
6	0
7	5
8	5
9	4

Необходимо вычислить медиану в баллах и в рангах.

Решение:

1) Ранжируем баллы, определяем порядковые номера для каждого балла, преобразуем баллы в ранги (табл.3.9). Поскольку объем выборки (N =9) – нечетное число порядковый номер медианы равен:

 

Медины в баллах и рангах по признаку степень опушения листа у 9 образцов сливы домашней

Балл, ранжир.	Порядковый номер	Ri
0	1	1
1	2	2
2	3	3,5
2	4	3,5
3	5	5,5
3	6	5,5
4	7	7
5	8	8,5
5	9	8,5
Σ=25	Σ=45	Σ=45
Ме =3	Ме =5,5

 

Примечание: темным фоном выделены медианный балл и медианный порядковый номер.

В табл. 3.9. порядковому номеру 5 соответствует балл 3 и ранг 5,5 – это и есть искомые медианы в баллах и рангах, то есть, Ме _балл = 3, Ме _ранг = 5,5.

Среднее арифметическое ()

Ограничения использования: 1) вычисляется только для переменных, измеренных в числовых шкалах; 2) является параметрической статистикой, основанной на биномиальном законе распределения случайной величины

Пример 3. Вычислить среднее арифметическое длины листовой пластинки (мм) у 9 образцов алычи:

№ образца	Длина листовой пластинки, мм
1	67
2	58
3	54
4	63
5	72
6	59

Практическое задание 2. 1. Определите параметры средних тенденций (моду, медиану, среднее арифметическое):

Длина листовой пластинки у 32 сортов яблони домашней, см

8,0	5,5	6,0	5,5	9,0	7,5	5,0	4,6	6,5	6,5	8,0	5,5	7,5	8,0	7,8	6,0
6,5	5,0	5,1	5,5	7,4	7,7	7,8	7,5	7,8	7,0	7,2	6,4	7,0	7,8	9,0	8,5

Решение:

 

Параметры вариации

Размах варьирования (lim)

Размах варьирования (lim) - разность между максимальным и минимальным значениями переменного в выборке.

Недостатки данного показателя: 1) очень неустойчивый (зависит только от крайних значений x_i выборки); 2) при равенстве размаха изменчивости двух выборок, распределение в них вариант может быть разным.

Дисперсия (σ²)

Дисперсия (σ²) – представляет собой средний квадрат отклонений вариант от средней арифметической совокупности, безразмерная величина. Является основным параметром, измеряющим вариацию переменного.

Дисперсию рекомендуется вычислять на два знака после запятой точнее, чем исходные данные.

Пример 4. Вычислить дисперсию длины листовой пластинки у 9 образцов вишни:

№ образца	Длина листовой пластинки, мм
1	67
2	58
3	54
4	63
5	72
6	59

Среднее квадратическое отклонение (σ).

Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии:

В отличие от дисперсии измеряется в тех же единицах, что и признак.

Среднее квадратическое отклонение может быть как положительным, так и отрицательным числом (±σ).

Среднее квадратическое отклонение используется в основном для определения доверительных интервалов статистических параметров, вычисления коэффициентов вариации, оценки достоверности статистических параметров.

Коэффициент вариации (cv).

Коэффициент вариации – частное от деления среднего квадратического отклонения (σ) на среднюю арифметическую ():

Выражается в процентах или в долях единицы. Отличается относительной устойчивостью. Нормирован от 0 до 100% или от 0 до 1.

В однородной выборке (повторности) коэффициент вариации, как правило, равен 5-10%.

Практическое задание 2.2. Диаметр соцветия и 88 сеянцев спиреи японской, см:

3,70	3,55	3,20	3,60	3,70	3,90	3,35	3,75	3,85	4,05	3,20
4,35	4,35	4,15	5,45	4,60	2,65	5,00	5,75	7,00	5,75	6,00
2,95	5,45	4,85	3,80	4,30	4,85	4,60	5,60	5,25	5,75	4,30
4,40	4,85	5,70	5,75	5,60	5,50	4,75	5,20	6,25	4,25	3,85
5,85	6,50	6,00	6,25	5,25	6,00	5,75	5,25	5,75	5,90	5,25
6,00	5,25	4,25	5,00	6,25	7,00	5,80	4,50	5,50	6,00	4,75
5,80	4,50	4,50	5,25	5,75	4,75	5,50	4,50	4,75	5,75	4,50
4,50	5,00	5,25	5,25	4,90	4,00	5,50	5,75	5,25	5,00	4,25

Определите следующие параметры вариации: размах изменчивости, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение:

 

Ошибка репрезентативности средней арифметической ( ).

Ошибка репрезентативности средней арифметической () – представляет собойраспределение средних арифметических различных выборок вокруг генерального среднего близкое к нормальному закону.

Ошибкой репрезентативности средней арифметической называют среднее квадратическое отклонение выборочных средних вокруг генерального среднего. Чем меньше эта ошибка, тем ближе выборочное среднее к генеральному среднему.

Если объём генеральной совокупности N → ∞ ошибка средней арифметической () вычисляется по формуле:

Если объём генеральной совокупности представляет собой конечное число и объём выборки сопоставим с ним, ошибка средней арифметической () вычисляется по следующей формуле:

где  - объём генеральной совокупности, N – объём выборки

Показатель точности опыта

Показатель точности опыта показывает долю ошибки средней арифметической по сравнению с величиной самой средней арифметической. Обычно точность опыта выражается в процентах:

Точность опыта считается удовлетворительной, если она не превышает 5%. При значениях точности опыта свыше 5% рекомендуется заново заложить опыт, при этом необходимо увеличить объём выборки и повысить точность измерений.

Общие понятия

Альтернативная изменчивость – переменное имеет только 2 состояния: наличие или отсутствие проявления признака.

В этом случае совокупность состоит из 2 групп объектов:

1) объекты, у которых признак имеется – n ₁; 2) объекты, у которых признак отсутствует – n ₀. Объем выборки - N.

N = n ₁  + n ₀

Доля объектов, имеющих признак (р) будет равна:

Доля объектов, не имеющих данного признака (q):

По определению:

p + q = 1

Границы классов