Среднее квадратичное отклонение

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:        δ(x)=√D(x)                                                                               

 

Пример 61.

 Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей распределение, представленное в таблице

Xi	-2	-1	1	2	3
Pi	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

 

Решение:

1. Найдём математическое ожидание.

По формуле (1): M(x)= -2*0.3+(-1)*0.1+1*0.2+2*0.1+3*0.3= -0.6-0.1+0.2+0.2+0.9=0.6

2. Найдём дисперсию.

2.1 воспользуемся формулой (2):

случайная величина (Х-М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице

Xi-M(x)	-2.6	-1.6	0.4	1.4	2.4
Pi	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

      Тогда

D(X)=M(x-M(x))²=(-2.6)²*0.3+(-1.6)²*0.1+0.4²*0.2+1.4²*0.1+2.4²*0.3=                =2.028+0.256+0.032+0.196+1.728=4.24

2.2 случайная величина x² имеет распределение, представленное в таблице

Хi	1	4	9
Pi	0.3	0.4	0.3

 

Тогда M(x²)=1*0.3+4*0.4+9*0.3=0.3+1.6+2.7=4.6 

D(x)=M(x²)-(M(x))²=4.6-0.6²=4.6-0.36=4.24

 3.Найдём среднее квадратичное отклонение δ(x)=√D(x)=√4.24≈2.059

Литература:

 [1] стр. 531- 536, [2] стр. 385- 393, [3] стр. 567- 573, 583 – 588, [4] стр. 436- 440,

 

7.4. Математическая статистика.

     7.4.1.Вариационные ряды распределения.

● Признак, принимающий одно и то же значение, называется вариантом выборки.

● Число элементов в каждой группе называется частотой варианта (n_i).

● Размахом выборки называется число h=x_max-x_min.

● Сумма всех частот есть объём (n) выборки.

● Отношение частоты данного варианта к объёму совокупности называется  относительной частотой.

● Последовательность вариант, расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

● Последовательность пар (x, n), (x, n),…, (x, n) называют c татистическим рядом. Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы.

x	x	x	…	x¡	…	x
n	n	n	…	n¡	…	n

● Если во второй строке таблицы записать не частоты, а относительные частоты соответствующих значений выборки, то получим выборочное распределение:

x	x	x	…	x¡	…	x
			…		…

 

Пример 62.

Пусть дана выборка: 1;10; -2;1;0;1;10;7; -2;10;10;7.Для данной выборки найти: а). объём;

б). размах; Записать выборку в виде вариационного ряда; составить статистический ряд. Найти выборочное распределение.

Решение: 

Её объём равен n=12;  размах 10-(-2)=12,

вариационный ряд: -2; -2; 0; 1; 1; 1; 7; 7; 10; 10; 10;10.

Статистический ряд: 

xi	-2	0	1	7	10
ni	2	1	3	2	4

Выборочное распределение:

xi	-2	0	1	7	10

 

7.4.2. Графическое изображение вариационных рядов.

● Полигоном частот называют ломаную с вершинами в точках (x, n), (x, n), …, (x, n)

 

 

● Полигоном относительных частот называют ломаную с вершинами в точках (x,), (x,), (x,), …, (x,).

 

● Гистограмма частот это фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами n_i.

● Гистограмма относительных частот это фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами.Значение x¡ выборки, совпавшее с правым концом промежутка, относят к следующему промежутку (если x¡ не наибольшее значение выборки)..

Пример 63.

Дана выборка: 111,109,107,111,124,109,111,105,129,107,109,111,129,109,111

    Построить гистограмму частот, если число частичных промежутков равно: m=4.

Решение:

    Наименьшее значение выборки равно 105, наибольшее- 129. Находим длину частичных промежутков h:

                                               H====6

Разбиваем промежуток от наименьшего значения выборки до её наибольшего значения на частичные интервалы:

 

[105; 105+6), [111; 111+6), [117; 117+6), [123; 123+6], [105; 111), [111; 117),              [117; 123), [123; 129].

 

    Подсчитываем число значений выборки, попавших в каждый промежуток и заполняем таблицу:

 

x¡	[105; 111)	[111; 117)	[117;123)	[123; 129]
n¡	7	5	0	3
			0

 

По полученным данным строим гистограмму частот.

 

7.4.3. Точечные оценки неизвестных параметров распределения.

●.Выборочным средним выборки объема n со статистическим рядом  

 

хi	x1	x2	…	xn
ni	n1	n2	…	nk

 

называется число

 

.

● Выборочной дисперсией Д_ввыборки объема n со статистическим рядом

 

хi	x1	x2	…	xn
ni	n1	n2	…	nk

 

называется число 

●.Квадратный корень из выборочной дисперсии называется выборочным среднимквадратическим отклонением величины х  .

● Исправленная дисперсия

● Квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии называется исправленным средним квадратическим отклонением

Пример 64.

Дана выборка: 3, 8, 14, 6, 4, 3, 3, 4, 6, 14, 6, 3, 6, 4, 8, 14, 3, 4, 4, 3.

По данной выборке определить:

а) объем выборки;

б) выборочное среднее;

в) выборочную дисперсию;

г) выборочное среднее квадратическое отклонение;

д) исправленную выборочную дисперсию;

е) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) Объем выборки n = 20;

б) Запишем для данной выборки статистический ряд

хi	3	4	6	8	14
ni	6	5	4	2	3

 

 

в) Добавим вышеприведенную таблицу:

 

хi	3	4	6	8	14
ni	6	5	4	2	3
	3-6=-3	4-6=-2	6-6=0	8-6=2	14-6=8
	(-3)^2=9	(-2)^2=4	0^2=0	2^2=4	8^2=64

 

 

г) 

 

д) 

 

е)  

7.4.4 Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.

Случайный интервал, в пределах которого с вероятностью находится неизвестный оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом, соответствующим коэффициенту доверия. Для оценки математического ожидания М(х) случайной величины х служит доверительный интервал

 

  -      коэффициент Стьюдента, зависящий от и  (берется из таблиц);

  -      объем выборки;

  -      выборочное среднее;

  -      исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

n				n
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	2,78	4,60	8,61	20	2,09	2,86	3,88
6	2,57	4,03	6,86	25	2,06	2,80	3,74
7	2,45	3,71	5,96	30	2,04	2,76	3,66
8	2,37	3,50	5,41	35	2,03	2,73	3,60
9	2,31	3,36	5,04	40	2,02	2,71	3,56
10	2,26	3,25	4,78	45	2,02	2,69	3,53
11	2,23	3,17	4,59	50	1,98	2,63	3,39
12	2,20	3,11	4,44	60	2,00	2,66	3,46
13	2,18	3,06	4,32	70	1,99	2,65	3,49
14	2,16	3,01	4,22	80	1,99	2,64	3,42
15	2,15	2,98	4,14	90	1,98	2,63	3,4
16	2,13	2,95	4,07	10	1,98	2,63	3,39
17	2,12	2,92	4,02	120	1,98	2,62	3,37
18	2,11	2,90	3,97		1,96	2,57	3,29
19	2,10	2,68	3,92

Пример 65.

Из генеральной совокупности извлечена выборка: -2; 2; 4; 5; 3; -2; 3; 4; 2; 1.

Оценить с доверительной вероятностью 0,95 математическое ожидание генеральной совокупности.

Решение:

 = 10

 

 

n = 10, = 0,95, значит  = 2,26

 

 * = 2,26 *

 = 2 – 1,717864304 = 0,2821356693

Доверительный интервал:

)

 

Литература:

 [1] стр. 571- 536, [2] стр. 513- 542, [4] стр. 443,