Если , то единственное решение системы можно Найти в виде:

.

Пример 53.

Решите систему уравнений методом Крамера:.

Решение:

1) Вычислим определитель системы:

 

Т. к., то система имеет единственное решение.

2) Найдём дополнительные определители:

 

 

3) Найдём решения системы:

 

4) Ответ:(3;-5;2).

 

Литература:

[1] стр. 78-79, [3] стр. 316- 318, [4] стр. 86-88

Глава 7 Элементы теории вероятностей и математической статистики

7.1 Основные правила и определения комбинаторики.

 

7.1.1.Правило умножения.

Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо k действия. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие-n₂  способами, третье действие-n₃  способами и так далее до k-го действия, то все k действий вместе можно выполнить n₁ n₂  n₃……n_k способами.

Пример 54.

Сколько можно записать 2-значных чисел в десятичной системе счисления?

Решение.

 Так как число двухзначное, то число десятков может принимать любое из 9 значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может принимать те же значения, а кроме того может равняться 0. Таким образом, первую цифру числа можно выбрать 9 способами (n₁=9), а вторую цифру – 10 (n₂=10). Тогда число можно составить 9*10=90 способами.

 

7.1.2.Правило сложения.

Если действия взаимно исключают друг друга, причем первое действие можно выполнить n₁ способом, второе действие – n₂ способами, третье действие – n₃ способами и так далее до k-го действия, то выполнить одно любое из этих действий можно n₁+n₂+n₃+……+n_k способами.

Пример 55.

 В двух коробках по 4щара, пронумерованных от 1 до 4: в одной коробке – красного цвета, в другой синего – цвета. Сколькими способами можно выбрать 2 шара одного цвета?

Решение.

Так как шары должны быть одного цвета, то их нужно выбрать из одной коробки. 2 шара красного цвета можно выбрать из 1 коробки 4*3=12 способами (n₁=12); 2 шара синего цвета можно выбрать из 2 коробок 4*3=12 способами (n₂=12). Тогда 2 синих или 2 красных шара (действия взаимно исключают друг друга) можно выбрать 12+12=24 способами.

      

7.1.3. Размещения.

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по m элементов (0<m<n) называется упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного множества.

Из определения следует, что размещение отличается друг от друга, во-первых, составом элементов, и, во-вторых, порядком следования элементов.

Число всех возможных размещений обозначается (читается “A из n по m”) и находится по формулам:

= n(n-1)(n-2)……(n-m+1);                  

Пример 56.

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

Решение:

 Искомое количество чисел равно числу размещений трёх элементов из пяти т.е.   

7.1.4. Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Так как каждая перестановка содержит все nэлементов, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число всех возможных перестановок обозначается P_n.  Р_n=n!                   

 

П ример  57.

 Сколько существует пятизначных чисел, составленных из цифр 2,3,4,5,6, если все цифры в каждом числе различные?

Решение:

Искомое количество чисел равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.

 

7.1.5.Сочетание.

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием n элементов по m(0<m<n ) элементов называется любое подмножество элементов, которое содержит m различных элементов данного множества.

Следовательно, сочетание отличается только составом элементов; подмножества, 

отличающихся только порядком следования элементов, не является различными сочетаниями.

число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов читается (с из n по м) и вычисляется по формуле:

 

 

Пример 58.

 Сколькими способами можно из 8 преподавателей математики составить экзаменационную комиссию из четырёх человек?

Решение.

Так как порядок выбранных 4 человек не имеет значения, то это можно сделать

 

 

Литература:

[2] стр. 362- 366, [3] стр. 557- 559, [4] стр. 418- 421,

 

7.2.Основные понятия теории вероятности.

 

7.2.2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, т.е.                                                                           

Свойства вероятности:

1) Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

2) Вероятность достоверного события равна 1.

3) Вероятность невозможного события равна 0.

4) Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

5) Вероятность полной системы событий равна 1.

 

Пример 59.

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что:

а) выпадет чётное число очков(событие А);

б) выпадет число очков, кратное трём (событие В);

в) выпадет любое число очков, кроме 5(событие С).

г) выпадет 7 (событие Д)

Решение:

а) На гранях игральной кости имеются три чётные цифры (2,4,6),т.е. число искомых исходов m=3. Число всех возможных исходов n=6 (выпадет любое число очков от1 до6). Значит, Р(А)=.

б) Здесь имеются две цифры, кратные трём:3 и 6.Следовательно,m=2, а число всех возможных исходов n= 6.Значит Р(В)=.

в) Искомыми исходами являются цифры 1,2,3,4,6-всего их пять. Число всех возможных исходов n= 6.Значит Р(С)=.

г) Это событие невозможное, поэтому Р(Д)=0.

 

7.3 Случайные величины.

 

 Закон распределения дискретных случайных величин.

Хi	X1	X2	X3	…	Xn	…
pi	P1	P2	P3	…	pn	…

 

Значения случайной величины х_i располагают в порядке возрастания. Основное свойство данной таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна 1.

Пример 60.

Монета бросается 5 раз. Составить закон распределения ДСВ х- числа появления герба.

Решение:

ДСВ х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.Вероятность появления герба в одном опыте р=1/2.

Р(х=0)=

Р(х=1)=

Р(х=2)=

Р(х=3)=

Р(х=4)=

Р(х=5)=

Полученные данные представим в виде таблицы- закона распределения ДСВ х.

 

хi	0	1	2	3	4	5
pi

 

 

7.3.1 Числовые характеристики дискретной случайной величины.

 

. Математическое ожидание.

 Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений. М(х) = x_ip_i=x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_n                                                           

Дисперсия.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

  D(x)=M(x-M(x))²