Из полученных решений следует, что существенным моментом анализа

Является неравенством соответствующего диагонального элемента матрицы

ˆ

M

До нуля, что возможно в случае изотропии вектора a i. Это

Принципиальная отличительная черта псевдоевклидовых цепей.

Для исследования однозначности полученных решений воспользуемся

метод Ляпунова [5], основанный на изучении поведения их вариаций.

тионы:

d

dt

(δ u i) =

N

∑

j = 1

M ij δ v j,

d

dt

(δ v i) =

U i δ v i

т

+

V i δ u i

Т 2

,

я = 1,..., N.

Стр. Решебника 441

E. Динамика модели mixmaster

441

Мы ищем их решения в виде

δ u i = ξ i t ρ − 1, δ v i = η i t ρ − 2, i = 1,..., N.

Тогда для поиска коэффициентов ξ i, η i получается линейная однородная

система уравнений с параметром ρ:

(ρ - 2 - U i) η i = V i ξ i,

(E.8)

(ρ - 1) ξ i =

N

∑

j = 1

M ij η j,

я = 1,..., N.

(E.9)

Значения параметра ρ называются показателями Ковалевского.

Рассмотрим решения при V i = 0. Если η 1 = 0, а остальные η i = 0,

затем из первой системы уравнений (Е.8), получает ξ 1 = М 11 ρη 1 /2,

Подстановка его во вторую систему (Е.9) дает условие значений

параметра ρ:

ρ (ρ - 1) - 2 = 0,

id est ρ 1 = − 1, ρ 2 = 2. Остальные уравнения (E.9) дают нам решения

ξ i = ξ i (η 1, ρ).

Пусть η 2 = 0, тогда η 3, η 4,..., η N = 0,

ρ = 2 - 2

П 21

П 11

, ρη 1 = 2

ξ 1

П 11

.

Вторая система дает функции ξ i = ξ i (η 2), i = 1,2,..., N, и поэтому

На. В итоге, просмотрев все решения первой серии для

в случае V 1 = 0 получаем формулу для спектра ρ:

ρ = 2 - 2

<а я, а 1 >

<а 1, а 1 >

,..., i = 2, 3,..., N.

Стр. Решебника 442

E. Приложение 442

В конечном итоге, рассмотрев остальные решения, получаем

формула для показателей Ковалевского ρ, обобщающая Адлеровский ван

Формула Мёрбеке [7] для случая неопределенных пространств:

ρ = 2 - 2

<а я, а к >

<а к, а к >

,

я = к,

<а к, а к > = 0.

(E.10)

Требование ρ ∈ Z является необходимым условием мероморфности

Решения на комплексной плоскости t. Следует отметить, что при получении -

В формуле (E.10) никаких ограничений на метрическую сигнатуру не накладывалось.

Это верно не только для пробелов подписи Минковского.

Теперь применим разработанный метод к анализу интегрируемости

Миксмастерской модели Вселенной, «корневые векторы» которой имеют

форма:

a 1 (4, − 8,0), a 2 (4,4,4 √ 3), a 3 (4,4, − 4

√ 3),

а 4 (4,4,0), а 5 (4, − 2,2

√ 3), a 6 (4, − 2, − 2

√ 3).

«Матрица Картана», составленная из скалярных произведений «корневых векторов» в

Пространство Минковского имеет вид:

<a i, a j> = 48





























1 -1 -1 -1

0

0

− 1

1 -1

0

0

− 1

-1 -1

1

0

− 1

0

− 1

0

0

0

-1/2 -1/2

0

0 -1 -1/2

0

− 1/2

0 -1

0 -1/2 -1/2

0





























.

Получается три «корневых вектора», расположенных вне светового конуса (пространственно-подобного

Векторы), остальные три изотропны на световом конусе. Используя общий

Модифицированная формула Адлера ван Мербеке (Е.10) с учетом нулевой нормы

Стр. Решебника 443

E. Динамика модели mixmaster

443

трех векторов, получаем целое число ρ 1 = 2, ρ 2 = 4. В качестве метрики Киллинга

В обобщенной формуле Адлера ван Мербеке (Е. 10) неопределенна, она

Следует указать в схеме классификации некомпактных лиевских

алгебры для получения точных решений цепочек Тоды, как это было сделано в [ 3].

Из-за изотропности трех векторов мы переходим от Мизнера

фазовые переменные к некоторым другим [ 4]

(α, β +, β -

; p α, p +, p -) ↦ → (X, Y, Z; p x, p y, p z).

Теперь гамильтониан имеет более симметричный вид:

X =

1

12

ехр (2 (α + β + + √ 3 β -

)), Y =

1

12

ехр (2 (α + β + -

√ 3 β

-

)),

Z =

1

12exp (2 (α - 2 β +));

р х =

1

12

(2p α + p + + √ 3p -

), p y =

1

12

(2p α + p + -

√ 3p

-

), p z =

1

6

(p α − p +).

Уравнения движения представлены в виде гамильтоновых уравнений

На прямой сумме двумерных разрешимых алгебр Ли

g (6) = g (2) ⊕ g (2) ⊕ g (2):

{X, p x } = X,

{Y, p y } = Y,

{Z, p z } = Z

(E.11)

с гамильтонианом H:

H = -

1

2

(стр. 2

х + р 2

у + р 2

z) +

1

4

(р х + р у + р г) 2 -2 (Х 2 + Y 2 + Z 2) + (X + Y + Z) 2.

Гамильтониан имеет вид кинетической энергии волчка:

H =

1

2

6

∑

я, j = 1

I ij x i x j,

Стр. Решебника 444

E. Приложение 444

Где фазовые переменные пронумерованы как

х 1 = Х, х 2 = Y, х 3 = Z; x 4 = p x, x 5 = p y, x 6 = p z,

Тензор энергии I ij имеет блочный тип. Итак, космолог mixmaster-

Модель можно рассматривать как волчок Эйлера Пуанкаре на алгебре Ли

(Е.11). Уравнения Эйлера Пуанкаре являются обобщением знаменитого

Динамические уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела с

Соответствующая алгебра вращений so (3).

Частичное мероморфное решение полученной системы дифференциальных

Основное уравнение: x i = C i / t. Тогда проблема сводится к расследованию

Спектра матрицы Ковалевского

K ij = (c

я

jk I kl + c

л

Jk I ki) C

л

+ δ ij,

(E.12)

Где c k

Ij - структурные константы алгебры, а C i - решения

алгебраической системы:

C i + c k

ij I jl C k C l = 0.

Вычисления дают целочисленный спектр матрицы (E.12):

р = -1,1,1,2,2,2,

Что указывает на закономерный характер поведения рассматриваемых ди-

Музыкальная система.

Стр. Решебника 445

Библиография

[1] Миснер, гл.: Mixmaster Universe. Phys. Rev. Lett. 22, 1071 (1969)

[2] Лихтенберг, А.Дж., Либерман, М.А.: Регулярная и хаотическая динамика.