Модификация вывода формулы ( В.4 ) позволяет получить

Регуляризация, аналогичная (В.5) для расходящихся рядов, в которых сумма

больше полуцелого значения аргумента [ 3]:

Рег

∞

∑

п = 0 F (п +

1

2)

= −ı

∞

∫ 0

F (ı t) - F (−ı t)

ехр (2 π t) +1

Dt.

(C.6)

Эта формула используется для проведения расчетов с фермионным полем.

Эффект Казимира состоит из поляризации вакуума квантовой энергии.

Поля, возникающие в результате изменения спектра вакуума

Колебания. Расчеты эффекта для многообразий различной конфигурации.

И для полей с различными спинами с использованием формул Абеля – Планы

(C.5) и (C.6) для регуляризации представлены в статье [4]. В

Функции распределения бозонов и фермионов по энергии

f ∓

(ǫ) =

1

ехр (ǫ - µ) / k B T ∓ 1

Аналогичны выражениям под знаком интеграла в (C.5) и (C.6).

Стр. Решебника 427

Библиография

[1] Евграфов М.А.: Аналитические функции. Dover Publications. (1978)

[2] Бейтман, Х., Эрдейи, А.:

Высокие трансцендентные функции.

McGraw – Hill Book Co. (1953)

[3] Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М.

Эффекты тумана в сильных полях. Friedmann Lab. Publ. (1994)

[4] Мостепаненко, В.М., Трунов, Н.Н.: Эффект Казимира и его влияние.

Приложения. Физика – Успехи. 31, 965 (1988)

427

Стр. Решебника 428

Приложение D.

Функциональные формы Картана

D.1 Динамическая модель с высокими производными

Альберт Эйнштейн в пятом издании своей книги «Смысл теории относительности»

Добавил свою статью «Релятивистская теория несимметричного поля», написанная

в сотрудничестве с Б. Кауфманом [1 ]. Система дифференциальных уравнений

Движение не определяет поле полностью. Есть еще пересылка

Определенные бесплатные данные. Чем меньше бесплатных данных, тем «сильнее»

Это система. Эйнштейн ввел понятие «силы» системы

Уравнения поля.

Как мы можем определить степень свободы функций? Этот

Задача изучается Уиттекером при рассмотрении сферических гармоник

[ 2 ]. Как задать начальные условия для систем дифференциальных уравнений?

Есть ли калибровочные степени свободы или тождества? Проблема

Идентификации динамических переменных связана с формулой -

Решение задачи Коши [ 3]. Без

динамические степени свободы [ 4].

428

Стр. Решебника 429

D. Функциональные формы Картана

429

Рассмотрим здесь поучительный пример системы с кон-

Напряжения: теория струн, лагранжиан которой является n-й степенью Гаусса

кривизна пространства-времени (n ∈ N, n> 1) [5]. Поскольку функция Гильберта

тяготение в (1 + 1) -мерном пространстве-времени дает Gauss–

В качестве топологического инварианта Бонне мы возьмем в качестве лагранжиана кривизну Гаусса.

в энной степени. Теория сохраняет свою ковариантность. Хотя

Расчеты громоздки, проблема решаема полностью. Оказывается

быть полезным примером использования обобщенных форм Маурера – Картана.

Проанализируем динамику метрики пространства-времени, взятой в ADM.

форма:

(g µ ν) = 

α 2 + β 2 γβ

γβ

γ 2 

,

√ g = αγ,

(D.1)

где метрические функции α (t, x) и β (t, x) имеют смысл La-

мультипликаторы гранжа. Кривизна Гаусса может быть выражена как [ 6]

R = -

1

2 α 3 γ 2

Det











α β γ

˙α

˙

β ˙γ

α ′ β ′ γ ′











-

(D.2)

-

1

2 αγ 

[(γ 2)

.

- (γβ)

′

αγ

].

- [

(γβ)

.

- (α 2 + β 2)

′

αγ

] ′ 

.

Функционал действия имеет вид

S =

1

2 ∫ т, х

R n αγ =

(D.3)

Знак равно

1

2 ∫ т, х

(αγ) 1 − n 



(β ′ - ˙γ

α)

.

+ (

β ˙γ

αγ)

′

- (

(α 2 + β 2)

′

2 αγ

) ′ 



п

,

Стр. Решебника 430

D. Приложение 430

где ∫ t, x

Обозначает интегрирование по пространству-времени. Варьируя S на

метрическая, получаем уравнения Эйлера-Лагранжа:

∂ L

∂α -

∂

∂ t

∂ L

∂ ˙α -

∂

∂ x

∂ L

∂α ′ +

∂ 2

∂ x 2

∂ L

∂α ′ ′ = 0,

∂ L

∂β -

∂

∂ x

∂ L

∂αβ ′ +

∂ 2

∂ t ∂ x

∂ L

∂

˙

β ′

+

∂ 2

∂ x 2

∂ L

∂β ′ ′ = 0,

(D.4)

∂ L

∂γ -

∂

∂ t

∂ L

∂ ˙γ -

∂

∂ x

∂ L

∂γ ′ +

∂ 2

∂ t 2

∂ L

∂ ¨ γ

+

∂ 2

∂ t ∂ x

∂ L

∂ ˙γ ′ = 0,

Где L - плотность функции Лагранжа.

Дифференциальные уравнения экстремалей (D.4) очень сложны.

Cated. В гамильтоновой формулировке дело проясняется, поскольку мы

Имеют дело с невырожденной теорией с высшими производными. Итак, мы используем

слегка модифицированная версия метода Остроградского [7]. Это имеет отношение к

введем вместе с обобщенными координатами (α, β, γ) новую переменную

ты ≡

β

′

- ˙γ

α

.

(D.5)

Тогда действие в координатах (α, β, γ, u) принимает вид

S =

1

2 ∫ т, х

(αγ) 1 − n [ ˙ u -

(β u + α ′

γ

) ′ ] П

.

(D.6)

Плотность импульса рассчитывается с использованием функциональных производных

π u ≡

δ S

δ ˙ u

Знак равно

∂ L

∂ ˙ u

Знак равно

п

2

αγ 1 − n [ ˙ u -

(β u + α ′

γ

) ′ ] N − 1

,

π α ≡

δ S

δ ˙α

Знак равно

∂ L

∂ ˙α

,

π β ≡

δ S

δ

˙

β = -

∂

∂ x

∂ L

∂

˙

β ′

,

Стр. Решебника 431

D. Функциональные формы Картана

431

π γ ≡

δ S

δ ˙γ

Знак равно

∂ L

∂ ˙γ -

∂

∂ t

∂ L

∂ ¨ γ -

∂

∂ x

∂ L

∂ ˙γ ′.

Учитывая (D.5), гамильтониан

H = ∫ x

(π u ˙ u + π α ˙α + π β

˙

β + π γ ˙γ − L [ α, ˙α, α

′

, α

′ ′

; β, β

′

,

˙

β

′

, β

′ ′

; γ, ˙γ, γ

′

, ¨ γ, ˙γ

′

])

Становится

H = ∫ x

(π u ˙ u + π α ˙α + π β

˙

β + π γ (β

′

− α u) − L [ α, α

′

, α

′ ′

; β, β

′

; γ, γ

′

; u, ˙ u, u

′

]).

Игнорируя граничные члены, получаем следующее выражение для гамиль-

тониан:

H =

= ∫ x (π α ˙α + π β

˙

β + α [(n - 1) (

2

П п) 1 / (п - 1)

γπ n / (n − 1)

ты

- u π γ + (

π

′

ты

γ)

′ ] +

+ β [ − u (

π

′

ты

γ)

- π

′

γ ]).