Вычислить неопределенные интегралы

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Перечислите методы вычисления интегралов от рациональных функций.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен, сводится к выделению полного квадрата из квадратного трехчлена.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Выделим их квадратного трехчлена полный квадрат:

. Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Т.к. , , то

Интегрирование рациональных дробей

 

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

 

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Неправильную рациональную дробь представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби.

2. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей со знаменателями, равными множителям знаменателя данной дроби.

3. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Правильную дробь  разложим на простейшие дроби.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, поэтому сначала выделим её целую часть делением многочлена на многочлен:

;

 

Тогда

Правильную дробь  разложим на простейшие дроби и найдём коэффициенты A, B, C.

 

 

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю и отбросив знаменатель, получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C.

 

Таким образом,

Подставив получившееся разложение в заданный интеграл, получим:

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и найдем неопределенные коэффициенты.

 

                         

 

                           

 

Тогда значение заданного интеграла будет равно:

 

Практическое занятие №19

Наименование занятия:   Интегрирование иррацио­нальных функций.

                                          Универсальная подстановка

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных и иррациональных функций. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие: