Понятие неопределенного интеграла

Функция F (x) называется первообразной от функции f (x) на отрезке [ a; b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F ′(x) = f (x).

Если функция F (x) является первообразной для функции f (x), то выражение F (x) + C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается: ∫ f (x) dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1) (ò f (x) dx)′ = f (x)

2) ò a∙f(x)dx=a∙ ò f(x)dx (a=const)

3) ò (f(x) ±g(x))dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx.

 

Таблица основных интегралов

 

1. , (n ≠ -1)

2.

3.

4.

5.

6. tg x + C

7. -ctg x+ C

8.

9.

10.

11.

12. arctg x +C

13. arctg

14.

15. arcsin x + C

16. arcsin

17.

18.

19.

Табличные значения производных основных функций

1. (uⁿ)' = n × u^{n - 1} × u ' (n Î R)

2. (a^u)' = a^u × lna × u'

3. (e^u)' = e^u × u'

4.(log _a u)' = × u'

5. (ln u)' =  × u '

6. (sin u)' = cos u × u'

7. (cos u)' = - sin u × u'

8. (tg u)' =  × u'

9. (ctg u)' = -  × u'

10. (arcsin u)' =  × u'

11. (arccos u)' = -  × u'

12. (arctg u)' =  × u'

13. (arcctg u)' = -  × u'

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

 

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

‌ Пример 1.

Решение. Для вычисления интеграла сначала воспользовались 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применили 4, 1 и 10 табличные интегралы.

Пример 2.  .

Пример 3.

.

Метод замены переменной (метод подстановки)

 

Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

 

Пример 4. Вычислить: ∫ (2 x +3)⁵ dx

Решение. Введем новую переменную t = 2 x + 3, тогда dt = t ′ ∙ dx = (2 x +3)′ ∙ dx = 2 dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 2 x + 3 подставим t, вместо dx подставим ): 

∫(2 x +3)⁵ dx =   ∫ t ⁵ ∙  = ∙∫ t ⁵ dt  =  = .

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение (2 x +3) и получим окончательный ответ:

∫(2 x +3)⁵ dx = = (2 x +3)⁶ + С.

 

Пример 5. Вычислить:

Решение. Введем новую переменную t = 5+ e^x, dt = (5+ e^x)′∙ dx = e^x ∙ dx, dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

 =  =  =  = = -

 

Интегрирование по частям

 

Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где  - это многочлен степени п, а  является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией. Формула метода:

 

,

где u и dv выбираются в соответствии с правилами:

 

1. Если  - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену  и применить формулу интегрирования по частям.

2. Если  - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , .

3. Интегралы вида ,  (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.

 

Пример 6. Вычислить .

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Положим , ; тогда , . Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Пример 7. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится ко 2 типу. Выполним замену:

, , ,

 =

 

Пример 8. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Выполним замену:

, , ,

=  

(Получили интеграл, который решается интегрированием по частям. Выполним замену еще раз: , , ,  и подставим ее в интеграл)

.

Пример 9. Вычислить

 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

Практическое занятие №18

Наименование занятия: Интегрирование рациональных функций

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных функций. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие: