Перечень формируемых компетенций. Федеральное агентство связи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

УТВЕРЖДАЮ:

Директор КС ПГУТИ

_____________Андреев Р.В.

«___08_»_____05________2017 г.

СБОРНИК

Практических занятий

по дисциплине

Элементы высшей математики

Часть 2

 

для специальностей: 09.02.03 – Программирование в компьютерных системах

                               09.02.04 – Информационные системы

 

Номера занятий: № 17 – 30

Сборник рассчитан на 28 часов

 

 

Составлен преподавателем Лобачевой М.Е.

 

 

Рассмотрен на заседании П(Ц)К

«Естественнонаучные и общепрофессиональные дисциплины»

Протокол № _9__ от _06.05_____ 2017г.

Председатель П(Ц)К________Андреева Н.Ю.

 

 

Самара

2017 г

Перечень формируемых компетенций

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информацион­но – коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

 

Для специальности 09.02.03

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

 

Для специальности 09.02.04

ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы.

ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.

Практическое занятие №17

Наименование занятия: Интегрирование заменой переменной и по час­тям

                                   в неопределенном интеграле

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы методами введения новой переменной, по частям. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5
6
7

1. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

 

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе;
2. Выполнить задания;
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как проверить результат интегрирования?
2. В чем суть метода непосредственного интегрирования?
3. Как вычисляется неопределенный интеграл методом замены переменной?
4. Запишите формулу интегрирования по частям. В каких случаях используется этот метод?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица основных интегралов

 

1. , (n ≠ -1)

2.

3.

4.

5.

6. tg x + C

7. -ctg x+ C

8.

9.

10.

11.

12. arctg x +C

13. arctg

14.

15. arcsin x + C

16. arcsin

17.

18.

19.

Методы интегрирования

Интегрирование по частям

 

Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где  - это многочлен степени п, а  является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией. Формула метода:

 

,

где u и dv выбираются в соответствии с правилами:

 

1. Если  - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену  и применить формулу интегрирования по частям.

2. Если  - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , .

3. Интегралы вида ,  (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.

 

Пример 6. Вычислить .

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Положим , ; тогда , . Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Пример 7. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится ко 2 типу. Выполним замену:

, , ,

 =

 

Пример 8. Вычислить

Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Выполним замену:

, , ,

=  

(Получили интеграл, который решается интегрированием по частям. Выполним замену еще раз: , , ,  и подставим ее в интеграл)

.

Пример 9. Вычислить

 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

Практическое занятие №18

Наименование занятия: Интегрирование рациональных функций

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных функций. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Практическое занятие №19

Наименование занятия:   Интегрирование иррацио­нальных функций.

                                          Универсальная подстановка

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных и иррациональных функций. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Где n - натуральное число

С помощью подстановки  или  функция рационализируется.

Тогда

 

       Пример 4.

       Решение.

 

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Пример 5.

Решение

Практическое занятие №20

Наименование занятия: Вычисление определенных интегралов

Цель занятия: Научиться вычислять определенные интегралы. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Приращение F (b) – F (a) любых из первообразных функций F (x) + С при изменении аргумента от х=а до х= b называется определенным интегралом от функции f.

Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница: 

 = F (b) – F (a)

Практическое занятие №21

Наименование занятия:    Решение прикладных задач с помощью

                                          определенного интеграла

Цель занятия: Научиться вычислять определенные интегралы, находить площади фигур, ограниченных линиями. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

 

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4 t – t ², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за третью секунду движения; перемещение точки за первые 6 секунд движения.  

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 8 x + 16; y = 6 – x

2)  х = -3, х = – 1, осью абсцисс

3) у = х ² – 2 (х ≥0), у = – 1, у = 7, х = 0

 

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу кубической параболы  в пределах от у = 1 до у = 8

 

ВАРИАНТ 2

1. Вычислить работу, совершенную при растяжении пружины на 6 см, если длясжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н.

 

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 6 t ²– 4 t – 10, см/с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения; путь, пройденный точкой за четвертую секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 6 x + 9; 3 x – y – 9 = 0

2) ,

3) , у = 1, у = 0, х = 0

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми , х = 4, х = 6 и осью абсцисс

 

ВАРИАНТ 3

1. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,05 м, если для ее сжатия на 0,02 м нужна сила в 10 Н.

 

2.  Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 3 t ² – 2 t – 1, м/c. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 3 секунды после начала движения; путь, пройденный точкой за третью секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = – x ² + 6 х – 5, y = 0;

2) y ² = x, y = x ²

3) у = 16х ³, у = 2, осью ординат

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции, образованной прямыми у = 3 х, у = 2, у = 4 и осью ординат

 

ВАРИАНТ 4

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 6 см, если для растяжения ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

 

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v =24 t – 6 t ²¸ м/с. Вычислить: путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки; путь, пройденный точкой за вторую секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) у = х ² + 1, у = 2 х + 9, х = 0, у = 0

2) , , х = 1

3) x + 2 y - 8 = 0, у = 1, у = 3

4. Криволинейная трапеция, ограниченная гиперболой  и прямыми х = 3, х = 12 вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

 

ВАРИАНТ 5

1. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м.

 

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4 t – t ², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения; путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

  

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 2 x + 3, y = x +3

2) у ³ = х, у = 1, х = 8

3) , у = 1, у = 4, осью ординат

4. Найти объем тела, полученного от вращения кривой  вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе;
2. Выполнить задания;
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как найти площадь криволинейной трапеции? Может ли она получиться отрицательной, равной нулю и почему?
2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
3. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Практическое занятие №22

Наименование занятия: Нахождение области определения и вычисление пределов

                                 для функций нескольких переменных

Цель занятия: Научиться находить области определения и вычислять пределы для функций нескольких переменных. Формировать ОК-2, ОК-4, ОК-5.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Функции нескольких переменных».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Вычислить пределы функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

 

1. Найти области определения функций и построить их на плоскости

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется функцией двух переменных?
2. Дать определение предела функции двух переменных. Как вычислить предел функции двух переменных?
3. Что является областью определения функции двух переменных?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Найти частные производные от функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

1. Найти полные дифференциалы функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

 

1. Доказать равенства

 

Вариант 1	,     если
Вариант 2	, если
Вариант 3	, если
Вариант 4	, если
Вариант 5	, если

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется частными производными от функции двух переменных?
2. Как вычислить полный дифференциал функции двух переменных?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D:

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

1. Вычислить двойные интегралы по областям G, ограниченным линиями