Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени

 

После проведения n реализаций интегрирований системы случайного процесса, необходимо оценить его статистические характеристики в зависимости от времени t.

При этом оцениваются те же статистические характеристики, что и в момент времени :

1) математические ожидания переменных состояния;

2) дисперсии переменных состояния;

3) корреляционный момент;

4) нормированный корреляционный момент (коэффициент корреляции)

Математические ожидания переменных состояния оценивается по следующим формулам (3.25-3.26):

 

, (3.25)

, (3.26)

 

где M1, M2 – математические ожидания переменных состояния,

n – объём выборки,

y1_i,j, y2_i,j – случайные процессы

При этом получаем график зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса:

График 7 – Зависимость оценки математического ожидания для первой переменной случайного процесса

 

График 8 - Зависимость оценки математического ожидания для второй переменной случайного процесса

 

Вычисление выборочной дисперсии переменных состояния вычисляется по формулам (3.27-3.28):

 

, (3.27)

, (3.28)

 

где DXX и DYY – дисперсия переменных состояния соответственно

 

Стандартное отклонение вычисляется по формулам (3.29-3.30):

 

, (3.29)

 (3.30)

 

Графики зависимости стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса имеют вид:

 

График 9 – Зависимость стандартного отклонения от времени для первой переменной случайного процесса

 

По графику 9 видно, что стандартное отклонение для первой переменной установившегося случайного процесса sxx≈0.012.

 

График 10 – Зависимость стандартного отклонения от времени для второй переменной случайного процесса

По графику 10 видно, что стандартное отклонение для второй переменной установившегося случайного процесса syy≈0.018.

Оценка коэффициента корреляции в зависимости от t вычисляется по формуле (3.31):

 

, (3.31)

 

где KORXY – корреляционный момент переменных состояния, который вычисляется по формуле (3.32):

 

 (3.32)

 

График 11 отражает зависимость коэффициента взаимной корреляции переменных состояния случайного процесса.

 

График 11 – Зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени

 

По графику 11 видно, что среднее значение коэффициента корреляции rxyxy≈0.7. Это значит, что переменные зависят друг от друга.

Несмещенными оценками корреляционных функций случайного процесса вычисляются по формулам (3.33-3.35):

 

, (3.33)

, (3.34)

, (3.35)

 

где KXX – нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса,

KYY – нормированная корреляционная функция по переменной Y случайного процесса,

KXY – нормированная взаимная корреляционная функция двумерного случайного процесса,

y1, y2 – функции случайного процесса (переменные состояния),

M1, M2 – математические ожидания переменных состояния

Построим графики нормированных корреляционных функций случайного процесса.

 

График 12 – Нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса

График 12 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по первой переменной примерно равен 0.05.

 

График 13 – Нормированная корреляционная функция по переменной Y случайного процесса

 

График 13 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по второй переменной примерно равен 0.05.

 

График 14 – Нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса

 

График 14 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по первой переменной примерно равен 0.05.

Таким образом, в данной главе были сгенерированы двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения и пересчитаны ошибки измерений и помехи в главную систему координат.

Получены реализации случайного процесса путём интегрирования системы дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0, T ].

Определены статистические характеристики системы управления в момент времени t=T: математическое ожидание для первой переменной состояния в конечной точке Xmean=0.013, для второй переменной – Ymean=4,697*10^-3; дисперсия первой переменной DX=1.311*10^-4, второй переменной – DY=2.644*10^-4; корреляционный момент KOR=1.098*10^-4; коэффициент корреляции rxy=0.59.

В итоге вычисления статистики и проверки гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T получили, что переменные зависят друг от друга (отвержение гипотезы).

Определены уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t = T.

Произведена оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени: вычислены математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, коэффициент корреляции. График коэффициента корреляции подтверждает зависимость переменных состояния друг от друга. Построены соответствующие графики зависимости от времени.

Произведена оценка корреляционных функций случайного процесса по каждой из переменных и взаимной корреляционной функции.

Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 3».

 

Заключение

 

В данной работе были изучены некоторые статистические задачи математического моделирования:

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону.

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону.

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

При решении первой задачи были выполнены следующие вычисления:

- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;

- найдено математическое ожидание ;

- найдена дисперсия ;

- построен доверительный интервал для математического ожидания двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки математического ожидания. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента. Его границы и .

- произведена проверка попадания теоретического математического ожидания  в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;

- построен доверительный интервал для дисперсии двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки дисперсии. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения  со степенью свободы n-1. Его границы и .

- произведена проверка попадания дисперсии  в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;

- найдена статистика Пирсона .

- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .

При решении второй задачи были выполнены следующие вычисления:

- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;

- найдено математическое ожидание ;

- вычислена дисперсия ;

- найдено теоретическое значение математического ожидания ;

- найдено теоретическое значение дисперсии ;

- построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы и ;

- произведена проверка попадания найденного математического ожидания  в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;

- построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы и ;

- произведена проверка попадания найденной дисперсии  в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;

- найдена статистика Пирсона ;

- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .

При решении третей задачи были выполнены следующие вычисления:

- сгенерированы двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения и пересчитаны ошибки измерений и помехи в главную систему координат;

- получены реализации случайного процесса путём интегрирования системы дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T];

- определены статистические характеристики системы управления в момент времени t=T:

1. математическое ожидание для первой переменной состояния в конечной точке Xmean=0.013, для второй переменной – Ymean=4,697*10-3;

2. дисперсия первой переменной DX=1.311*10-4, второй переменной – DY=2.644*10-4;

3. корреляционный момент KOR=1.098*10-4;

4. коэффициент корреляции rxy=0.59.

В итоге вычисления статистики и проверки гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T получили, что переменные зависят друг от друга (отвержение гипотезы).

- определены уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;

- произведена оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени с помощью графиков:

1. вычислены математические ожидания и построены зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса;

2. найдена дисперсия и построены зависимости стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса;

3. коэффициент корреляции и построена зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени;

- произведена оценка корреляционных функций случайного процесса по каждой из переменных и взаимной корреляционной функции.

Литература

 

1. Венецкий И.Г. и Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов экон. специальностей вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Статистика», 1975, 264 с.

2. Статистическое моделирование систем: Методические указания к курсовой работе / Авт.- составитель Ю.М. Заболотнов. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. 43 с.: ил.

3. Гусев, А.Н. Современная теория управления / А.Н.Гусев - Самара: СГАУ, 2000. 59 с.

4. Заболотнов, Ю.М. Оптимальное управление непрерывными динамическими системами / Ю.М.Заболотнов - Самара: СГАУ, 2005, 186 с.

Приложение 1