Статическое моделирование систем

Статическое моделирование систем

5 вариант

Руководитель,

доцент, к.т.н. ______________

Исполнитель

студентка гр. 63048 ______________

 

Тольятти 2010

Реферат

 

Курсовая работа.

Пояснительная записка 70 с., 11 графиков, 4 источника

случайные величины, нормальный закон, построение гистограммы распределения, выборочное среднее, выборочная дисперсия, построение доверительных интервалов, гипотеза о нормальном распределении случайной величины, критерий Пирсона, статистические характеристики, гипотеза о независимости случайных величин, эмпирические уровнения регрессии

Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.

 

Содержание

 

Введение

Исходные данные к моделированию

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону

1.1 Построение гистограммы распределения

1.2 Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии

1.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

1.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

2.1 Построение гистограммы распределения

2.2 Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии

2.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

3.1 Определение статистических характеристик системы управления в момент времени

3.2 Проверка гипотезы о независимости случайных величин  при уровне значимости a в момент времени

3.3 Определение эмпирических уровней регрессии XX на YY и YY на XX

3.4 Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени

Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

 

Введение

 

Метод статистического моделирования дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода – связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.).

Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.

Актуальностью данного изучения заключается в том, что метод статистического моделирования даёт возможность оптимизировать процессы разработки, отладки и настройки различных вычислительных систем.

Данная курсовая работа содержит 3 раздела:

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

Задачи определяются согласно разделам.

Для выполнения первого раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- с помощью датчика случайных равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку y1, y2,..,yn;

- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;

- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;

- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии двумя способами (при помощи нормального распределения и с помощью более точных распределений), и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;

- проверить гипотезу о нормальном распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.

Для выполнения второго раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- с помощью метода преобразований (или метода обратной функции) и датчика равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку случайной величины с заданным законом распределения.

- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;

- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;

- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;

- проверить гипотезу о заданном законе распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.

Для выполнения третьего раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- задать матрицу и вектор, характеризующие объект управления;

- подобрать коэффициенты регулятора в управлении из условия устойчивой работы системы;

- сгенерировать двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения;

- пересчитать ошибки измерений и помехи в главную систему координат;

- проинтегрировать систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T], получив реализации случайного процесса;

- определить статистические характеристики системы управления в момент времени t=T;

- вычислить статистику и произвести проверку гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T;

- определить уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;

- произвести оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени;

- произвести оценку корреляционных функций случайного процесса.

Исходные данные к моделированию

Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Конечное математическое ожидание m_x=5

Среднее квадратическое отклонение σ_x=3

Размер выборки n=335

Доверительная вероятность γ=0.95

Уровень значимости

Количество выбираемых значений N=13

Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону:

Распределение: f(x)=b(3-x), b>0

Границы распределения 1<x<2

Оценка статистических характеристик случайного процесса:

Случайное возмущение: помехи во втором канале СУ распределены по равномерному закону.

Исходная матрица В равна:

 

 

Параметры управления: m1=2 и m2=-3.

 

Заключение

 

В данной работе были изучены некоторые статистические задачи математического моделирования:

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону.

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону.

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

При решении первой задачи были выполнены следующие вычисления:

- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;

- найдено математическое ожидание ;

- найдена дисперсия ;

- построен доверительный интервал для математического ожидания двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки математического ожидания. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента. Его границы и .

- произведена проверка попадания теоретического математического ожидания  в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;

- построен доверительный интервал для дисперсии двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки дисперсии. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения  со степенью свободы n-1. Его границы и .

- произведена проверка попадания дисперсии  в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;

- найдена статистика Пирсона .

- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .

При решении второй задачи были выполнены следующие вычисления:

- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;

- найдено математическое ожидание ;

- вычислена дисперсия ;

- найдено теоретическое значение математического ожидания ;

- найдено теоретическое значение дисперсии ;

- построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы и ;

- произведена проверка попадания найденного математического ожидания  в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;

- построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы и ;

- произведена проверка попадания найденной дисперсии  в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;

- найдена статистика Пирсона ;

- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .

При решении третей задачи были выполнены следующие вычисления:

- сгенерированы двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения и пересчитаны ошибки измерений и помехи в главную систему координат;

- получены реализации случайного процесса путём интегрирования системы дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T];

- определены статистические характеристики системы управления в момент времени t=T:

1. математическое ожидание для первой переменной состояния в конечной точке Xmean=0.013, для второй переменной – Ymean=4,697*10-3;

2. дисперсия первой переменной DX=1.311*10-4, второй переменной – DY=2.644*10-4;

3. корреляционный момент KOR=1.098*10-4;

4. коэффициент корреляции rxy=0.59.

В итоге вычисления статистики и проверки гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T получили, что переменные зависят друг от друга (отвержение гипотезы).

- определены уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;

- произведена оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени с помощью графиков:

1. вычислены математические ожидания и построены зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса;

2. найдена дисперсия и построены зависимости стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса;

3. коэффициент корреляции и построена зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени;

- произведена оценка корреляционных функций случайного процесса по каждой из переменных и взаимной корреляционной функции.

Литература

 

1. Венецкий И.Г. и Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов экон. специальностей вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Статистика», 1975, 264 с.

2. Статистическое моделирование систем: Методические указания к курсовой работе / Авт.- составитель Ю.М. Заболотнов. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. 43 с.: ил.

3. Гусев, А.Н. Современная теория управления / А.Н.Гусев - Самара: СГАУ, 2000. 59 с.

4. Заболотнов, Ю.М. Оптимальное управление непрерывными динамическими системами / Ю.М.Заболотнов - Самара: СГАУ, 2005, 186 с.

Приложение 1

Гипотеза принимается

Приложение 2

 

Параметры заданного закона распределения

 

 

- количество реализаций случайной величины

 

 

- уровень значимости (вероятность того, что мы примем эту модель ошибочной)

Получение выборочных значение случайной величины

 

 

- совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин

 

Определение максимального и минимального значения выборки

 

 

Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса

 

 

Длина интервала

 

 

Номер интервала

 

 

Выбираем точки Uk

 

 

Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал

 

Определение высоты прямоугольника на каждом интерале

 

Эмпирическая плотность распределения

 

Теоретическая плотность распределения

 

Рисунок-1. Сравнение теоретической и эмпирической плотностей распределения

 

Приложение 3

Параметры нормального закона распределения

 

 

- количество реализаций случайной величины

Объект управления

Параметры управления

Коэффициенты регулятора

 

 

- изменённая матрица В

Определение собственных значений измененной матрицы В

 

 

Действительные части собственных значений изменённой матрицы отрицательны, значит, система работает устойчиво

Определение собственных векторов матрицы

 

 

Определение матрицы собственных векторов и обратной её матрицы

 

 

Проверка

 

Получение выборочных значений случайной величины

 

 

Генерирование ошибок измерений

 

 

Генерирование помех внутри объекта

 

 

Пересчет ошибок измерений в главную систему координат

 

Пересчет помех в главную систему координат

 

 

Начальные условия

 

Пересчет начальных условий в главную систему координат

 

Интегрирование методом второго порядка точности

 

 

(при Т=2 процесс становится установившимся)

 

Пересчет из главной системы координат в исходную систему координат

 

 

Реализации случайного процесса

 

 

Значения переменных состояния в конечной точке

 

Определение статических характеристик системы управления в момент времени t=T

Вычисление выборочного среднего (математическое ожидание)

Вычисление выборочной дисперсии

функция XХ:

функция YY:

 

Корреляционный момент

 

 

Оценка коэффициента корреляции

 

Проверка гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T

Анализ переменной состояния Х

 

 

Определение максимального и минимального значения выборки

 

 

Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса

 

 

Длина интервала

 

 

Номер интервала

 

 

Выбираем точки Uk

 

 

Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал по переменной Х

 

 

Частота попадания в крайние интервалы достаточно мала, поэтому необходимо объединить крайние интервалы

Объединяем крайние интервалы

 

Рассмотри функцию Y

 

 

Определение максимального и минимального значения выборки

 

 

Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса и также равно К

Номер интервала

 

 

Длина интервала

 

 

Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал по переменной Y

- частота попадания (Y)

 

 

Частота попадания в крайние интервалы достаточно мала, поэтому необходимо объединить крайние интервалы

 

 

Объединяем крайние интервалы

 

 

- частота попадания (Y)

 

 

Количество точек, попавших одновременно в оба интервала по двум переменным

 

 

- статистика

 

 

- уровень значимости

 

 

- количество степеней свободы

 

 

- табличное значение распределения (статистики) гипотеза принимается, если n<p

 

Гипотеза не принимается

Статическое моделирование систем

5 вариант

Руководитель,

доцент, к.т.н. ______________

Исполнитель

студентка гр. 63048 ______________

 

Тольятти 2010

Реферат

 

Курсовая работа.

Пояснительная записка 70 с., 11 графиков, 4 источника

случайные величины, нормальный закон, построение гистограммы распределения, выборочное среднее, выборочная дисперсия, построение доверительных интервалов, гипотеза о нормальном распределении случайной величины, критерий Пирсона, статистические характеристики, гипотеза о независимости случайных величин, эмпирические уровнения регрессии

Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.

 

Содержание

 

Введение

Исходные данные к моделированию

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону

1.1 Построение гистограммы распределения

1.2 Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии

1.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

1.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

2.1 Построение гистограммы распределения

2.2 Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии

2.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

3.1 Определение статистических характеристик системы управления в момент времени

3.2 Проверка гипотезы о независимости случайных величин  при уровне значимости a в момент времени

3.3 Определение эмпирических уровней регрессии XX на YY и YY на XX

3.4 Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени

Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

 

Введение

 

Метод статистического моделирования дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода – связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.).

Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.

Актуальностью данного изучения заключается в том, что метод статистического моделирования даёт возможность оптимизировать процессы разработки, отладки и настройки различных вычислительных систем.

Данная курсовая работа содержит 3 раздела:

1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

Задачи определяются согласно разделам.

Для выполнения первого раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- с помощью датчика случайных равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку y1, y2,..,yn;

- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;

- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;

- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии двумя способами (при помощи нормального распределения и с помощью более точных распределений), и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;

- проверить гипотезу о нормальном распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.

Для выполнения второго раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- с помощью метода преобразований (или метода обратной функции) и датчика равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку случайной величины с заданным законом распределения.

- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;

- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;

- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;

- проверить гипотезу о заданном законе распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.

Для выполнения третьего раздела необходимо выполнить следующие задачи:

- задать матрицу и вектор, характеризующие объект управления;

- подобрать коэффициенты регулятора в управлении из условия устойчивой работы системы;

- сгенерировать двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения;

- пересчитать ошибки измерений и помехи в главную систему координат;

- проинтегрировать систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T], получив реализации случайного процесса;

- определить статистические характеристики системы управления в момент времени t=T;

- вычислить статистику и произвести проверку гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T;

- определить уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;

- произвести оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени;

- произвести оценку корреляционных функций случайного процесса.

Исходные данные к моделированию

Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Конечное математическое ожидание m_x=5

Среднее квадратическое отклонение σ_x=3

Размер выборки n=335

Доверительная вероятность γ=0.95

Уровень значимости

Количество выбираемых значений N=13

Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону:

Распределение: f(x)=b(3-x), b>0

Границы распределения 1<x<2

Оценка статистических характеристик случайного процесса:

Случайное возмущение: помехи во втором канале СУ распределены по равномерному закону.

Исходная матрица В равна:

 

 

Параметры управления: m1=2 и m2=-3.