Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах.

Длина дуги кривой  заданной в полярных координатах уравнением ,  

вычисляется   по формуле

(5.12)

Предположим, что  и  непрерывны на отрезке .Если в равенствах связывающих полярные и декартовы координаты ,угол  считать параметром,то кривую можно задать параметрически ,тогда ,

 , применяем формулу (5.9) для нахождения длины дуги имеем: 

, где что и требовалось показать.

Замечание: В практических примерах при нахождении длины дуги, как правило, не нужно строить чертеж. Иллюстрация приведена только для некоторых примеров (для наглядности).

 

Пример 5.8. Найти длину дуги кривой:

а)  ;б)  ;в)

;г) .

Решение.

а) Уравнение задаёт окружность,с центром в начале координат и радиусом    в декартовой системе координат, поэтому длину её дуги будем вычислять по формуле (5.8),поскольку она симметрично задана,достаточно вычислить четвертую часть длины дуги и результат умножить на четыре.

Для этого найдем  из уравнения  и и подставим в формулу (5.8):

.

Тогда , получили общеизвестную формулу длины окружности, формулу для вычисления длины дуги окружности с центром в начале координат произвольного радиуса. Если в данном примере положить ,получим окружность с единичным радиусом, длина дуги которой будет равна . При различных значениях параметра (радиуса)длина окружности будет изменяться;

б) кривая задана в декартовых координатах, поэтому найдем  и подставим в формулу(5.8):

,

=

 

Замечание: В случаи симметричной фигуры заданной параметрически или в полярных координатах необходимо найти часть длины дуги, иначе мы можем прийти к противоречию -нулевому результату(поскольку работаем с тригонометрическими функциями), покажем это на примере в).

 

Рис.20

в)  - это кривая называется астроида (рис.20) задана параметрически, поэтому длину  дуги будем находить по формуле (5.10),

для этого найдем , и подставим в формулу:

,

1способ: (Найдем , ;)

пришли к противоречию;

2 способ: (найдем , )

Заметим, что фигура симметрична относительно координатных осей, поэтому  для начала найдем

 

,

следовательно ;

г) Кардиоида  задана в полярных координатах, следовательно, длину дуги данной кривой находим по формуле (5.12).В силу симметрии фигуры (рис.17),найдем , для этого вычислим , и подставим в формулу (5.12):

,

, отсюда .

 

5.3. Вычисление объемов тел вращения

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами: вокруг оси абсцисс, вокруг оси ординат. В данном разделе будут разобраны оба случая.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением . Предположим, что функция  непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями  и  вращать вокруг оси  ,то получим так называемое тело вращения.

Рис 21.

Так как, каждое сечение этого тела плоскостью,перпендикулярной оси  ,то есть плоскостью  , представляет собой круг радиуса ,c площадью

,то объем тела вращения может быть найден по формуле 

Итак объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями  (рис.21),вычисляется по формуле

Замечание: В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси

().Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат  (интеграл всегда неотрицателен).

Рис.22

Аналогично размышляя,получим формулу  для вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 22.),

 

Объём кольца, образованного вращением вокруг  оси плоской фигуры, ограниченной непрерывными неотрицательными на  функциями

, и прямыми  вычисляется по формуле

Замечание: Если вращается криволинейной трапеции вокруг оси ,ограниченная линией заданной параметрически,то чтобы рассчитать объём тела   в формулу подставляем параметрические функции , а также соответствующие пределы интегрирования :

Пример 5.9. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Рис.23

Рис. 23

Построим фигуру ограниченную линиями

.Искомая плоская фигура заштрихована(рис.23), именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается воронка, которая симметрична относительно оси .

Объем тела вращения вычисляем по формуле
в нашем случае ,

,так как плоская фигура ограничена графиком экспоненты сверху. В итоге искомый объем равен:

Пример 5.10. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями

, вокруг оси .

Решение.

Рис.24

На рис.24,  плоская фигура заштрихована, именно она и вращается вокруг оси .В результате вращения получается ограниченная сверху парабола, которая симметрична относительно оси . Так как, фигура вращается вокруг оси , то и интегрировать будем по переменной  применяя формулу ,в нашем случае то есть ,  ,действительно, если выразить  через  получим   подставляя в формулу  находим объем:

 

Замечание: Пределы интегрирования по оси

следует расставлять строго снизу вверх.

Пример 5.11. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси  плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Рис.25

Для построения чертежа плоской фигуры найдем точки пересечения  параболы  с вершиной в начале координат симметричной относительно оси  и прямой  проходящей через начало координат решив уравнение:

,

,

, .

Следовательно, имеется две точки пересечения (0;0), (1;3), отмечаем данные точки на чертеже и через точки пересечения проводим кривые. Кривые в пересечении образуют область заключенную между линиями

 (ветвь параболы ) и прямой

(рис.25),при этом ,поэтому объем находим как разность объёмов ,где

 .

В итоге искомый объём равен:

 

 

Пример 5.12. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры,ограниченной кривыми .

Рис.26

Решение.

Выполним чертеж, для этого найдем точки пересечения заданных линий: ,

При  , - вещественных корней нет;

При  ,

,тогда

Итак, имеется две точки пересечения (1;1), (-1;1), отмечаем данные точки, при этом заметим, что функции чётные, то есть симметричны относительно начала координат. Заметим, что функция

  пересекает ось в точке (0;2),действительно, при , .

Для нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, так как полученная фигура симметрична относительно начала координат. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси  совпадёт с левой не заштрихованной частью (рис.26).

Перейдем к обратным функциям, то есть, выразим  через : . Обратите внимание, что правой ветви параболы соответствует обратная функция ,а левой (неиспользуемой) ветви параболы соответствует обратная функция .

Аналогично для ,

Объем тела вращения необходимо искать по формуле (5.13) как сумму объемов тел вращений:  ,где ,так как на отрезке расположен график функции ;

, так как на отрезке  расположен график функции
Вычисляя  данные интегралы  получим:

;

Таким образом,

Задания для самостоятельного решения

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. 2. 3. 4. 5. 6.   7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.   21. 22.   23.   24. 25. 26.

Ответы:

13. 1. ; 13.2. ; 13.3. ; 13.4. ; 13.5.   13.6. ; 13.7.  13. 8. ; 13.9. ; 13.10. . 13.11. ; 13.12. : 13.13. 1; 13.14. 4,5; 13.15. ; 13.16. 4,5; 13.17. ; 13.18. ; 13.19. ; 13.20. 30; 13.21. 3; 13.22. ;

13. 23. ; 13.24. ; 13. 25. ; 13.26.

14. Вычислить длину дуги линии:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.	,
17.	,
18.	,
19.	,
20.
21.
22.	,
23.	,
24.
25.
26.

   Ответы:

14. 1. ; 14. 2.  14. 3. ; 14. 4. 8; 14. 5. ; 14. 6. ; 14. 7. ; 14. 8. 2; 14. 9. 2; 14. 10. ; 14. 11. ;

14. 12. ; 14. 13. ; 14. 14. ; 14. 15. ; 14. 16. 2;

14. 17. ; 14. 18. ; 14. 19. ; 14. 20. ; 14. 21. ; 14. 22. ; 14. 23. ; 14. 24. ; 14. 25. ; 14. 26. .

15. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями:

 

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси );

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

; (вокруг оси )

(вокруг оси );

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

(вокруг оси )

Ответы:

15.1. ; 15.2. ; 15.3. ; 15.4.  15.5.   15.6. 15.7. ; 15.8. ; 15.9.  15.10.  15.11. ; 15.12. 15.13. ; 15.14. ; 15.15.

15.16. 15.17. ; 15.18. ; 15.19. 15.20. 15.21. ; 15.22. ; 15.23. ; 15.24. ; 15.25. ; 15.26.

 

 

Литература

1. Б.В.Соболь, Н. Т. Мишняков, В.М. Поркшеян, Практикум по высшей математике.3-е изд. Ростов н \ Д:Феникс, 2010.

2. Д.Т.Письменный, Конспект лекций по высшей математике (полный курс). 2-е изд. Москва: «Айрис-пресс», 2014.

3. Данко П.Е., Попов, А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (1 том). — М.: Высш. шк., 2002.