Р азложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.

Теорема 3.1: Всякую правильную рациональную дробь  можно представить единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) — 4) этом:

а) Каждому неповторяющемуся множителю вида в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) Каждому неповторяющемуся множителю вида в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей

;

в) Каждому неповторяющемуся множителю вида

в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида ;

г) Каждому неповторяющемуся множителю вида  в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей

 .

Постоянные ,…, называют неопределенными коэффициентами.

Теорема 3.2: Всякую неправильную рациональную дробь ,можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена  и правильной рациональной дроби :

,где -целая часть, - остаток от деления  на .

 

Интегрировать простейшей дроби мы уже умеем. Рассмотрим, как проинтегрировать рациональную дробь, которая не является элементарной.

Правило (интегрирования рациональных дробей):

1) Если подынтегральная дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы многочлена  и правильной рациональной дроби  (разделив на  уголком, из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь ;

2) Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители и представляем ее в виде суммы простейших дробей. Правильную рациональную дробь  раскладывают на сумму простейших дробей 1)— 4)применяя теорему 3.1. и находят коэффициенты ,…, по следующему алгоритму:

а) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю;

   б) Числитель получившейся дроби приравнять числителю исходной дроби.

в)Найти коэффициенты одним из методов: методом приравнивания коэффициентов -приравнять коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой и правой частях равенства, полученную систему уравнений решить относительно неизвестных коэффициентов, входящих в числители простейших дробей; либо методом произвольных значений- в уравнение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных вещественных значений  и находят коэффициенты(в качестве произвольных значений принимаются точки при которых знаменатель обращается в ноль);

3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих методов их интегрирования.

 

Пример 3.7. Представить дробь  в виде суммы простейших дробей.

                          Решение.           

  Представлена правильная рациональная дробь, так как  ,разложим её знаменатель на множители . Получим первый корень  для разложения квадратного трёхчлена в скобках решим квадратное уравнение: , , то есть имеем дело со случаем, когда многочлен  имеет простые действительные корни , следовательно разложение знаменателя на множители имеет вид: . Разложение исходной дроби в соответствии с теоремой 3.1.а) будет следующим:

;

Правую часть приведем к общему знаменателю:

;

Так как две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны их числители:

Найдем  коэффициенты  двумя способами:  

1 c пособ (метод произвольных значений)- находим  при которых знаменатель дроби равен нулю, подставляя их значения поочередно в левую и правую часть полученного равенства, имеем:

Следовательно, ;

2 способ (метод неопределенных коэффициентов) -

раскрываем скобки в уравнении

Числа, обозначенные большими буквами -коэффициенты, пока неизвестны. Находим их методом неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :

Решим полученную систему ,чтобы исключить  из первого уравнения, вычтем из него второе уравнение и найдем :

.Подставляя в первое уравнение   найдем  

Итого, ,результаты совпали.

Пример 3.8. Вычислить интеграл .

Решение.

1)Под знаком интеграла правильная рациональная дробь  ,поэтому переходим к следующему этапу;

2)Разложим знаменатель дроби на множители, для этого вынесем за скобки ,а затем найдем корни квадратного уравнения в скобках:

,

уравнение не имеет вещественных корней, так как , то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет комплексно-сопряженные корни. Оба сомножителя  и присутствуют в знаменателе в первой степени, поэтому разложение исходной дроби на простейшие дроби в соответствии с теоремой 3.1. а),в) соответственно будет следующим:

, переходя к общему знаменателю получим, , приравнивая числители имеем:

;

;

Получим систему  , решая её найдём :

; ;

3)Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

Проинтегрируем отдельно простейшую рациональную дробь третьего вида ,используя метод замены переменной:

Итого,  

Замечание: Для упрощения решения системы, состоящей из коэффициентов, иногда полезно группировать два метода нахождения коэффициентов, рассмотренных выше. Как это сделать рассмотрим на примере 3.9.

Пример 3.9. Вычислить интеграл .

Решение.

1)Так как, дробь неправильная(, то предварительно следует, выделить у нее целую часть путем деления многочлена на многочлен «уголком»:

 

;

2)Осталось проинтегрировать правильную дробь ,для этого разложим знаменатель полученной дроби на множители и найдем коэффициенты, комбинируя два способа нахождения коэффициентов:

,

               вещественный корень; уравнение не имеет вещественных корней, действительно , то есть имеются комплексно-сопряженные корни.

              В соответствии с теоремой 2.1. в) получим разложение на простейшие дроби:

+

Применяя для начала метод произвольных значений, полагая  в подчеркнутом уравнении, найдем :

 .

Оставшиеся коэффициенты данным методом найти не получается (решение будет довольно громоздким), для их нахождения, применим метод неопределенных коэффициентов, раскрываем скобки в последнем уравнении и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях имеем:

;

;

Подставляя (найденное ранее методом частных значений)в полученную систему

  имеем: ,коэффициенты найдены;

3)Возвращаясь, к правильной дроби, получим:

 

В итоге, получим:

Пример 3.10. Вычислить .

Решение.

1)Дробь под знаком интеграла является правильной, так как , поэтому переходим к следующему этапу;

2) Разложим знаменатель дроби на множители:

имеем  вещественный корень (кратность корня) случай б) в теореме 3.1 и вещественные корни

  случай а) в теореме 3.1. Получим следующее разложение на простейшие дроби:

Переходя к общему знаменателю и приравнивая числители, имеем:

;

Находим коэффициенты . В нашем случае (вещественном) для их нахождения, удобнее применить метод произвольных значений:

.

Зная  полагая, например, найдем  :

,

;

3)Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

3.2. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида  называются интегралами от тригонометрических функций.

Здесь  – обозначение некоторой функции от переменных  и  над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

 Интегралы вида   всегда можно проинтегрировать с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Для данной подстановки имеем:

,  ,

,

В результате исходное выражение приводится к интегралу от рациональной функции переменной :

 . А как интегрируются рациональные функции мы уже знаем (см. главу 3.1.)

Замечание: Универсальная подстановка весьма громоздка, поэтому на практике применяют и другие более простые подстановки, в зависимости от вида подынтегральной функции, позволяющие рационализировать исходный интеграл.

Рассмотрим различные виды интегральных функции и запишем соответствующие им подстановки:

1) Подынтегральная функция нечетная относительно , то есть ,тогда интеграл , рационализируется при помощи подстановки  .

В частности, интегралы вида  ,где  интегрируются аналогично, только при  необходимо выделить множитель

.

 2) Подынтегральная функция нечетная относительно ,то есть , то необходимо сделать  подстановку ,

В частности, интегралы вида  ,где  интегрируются аналогично, только при  необходимо выделить множитель

.

3) Функция под знаком интеграла четная относительно  и , то есть

, тогда для преобразования подынтегральной функции в рациональную используется подстановка .

Для данной подстановки имеем:

, ,

.

Таким образом:

.

В частности, при вычислении интегралов вида

   , где , удобнее применять формулы понижения степени:  , .

Замечание: Иногда при интегрировании тригонометрических функций данного вида (четных относительно  и ) удобно применить формулы и .

4) Интегралы произведения синусов и косинусовразличных аргументов , ,

  приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения синусов, косинусов в сумму (разность):

;

.

5) Для интегралов вида , ,где

.Необходимо выделить множитель  или , в зависимости от вида подынтегральной функции.

 

Пример 3.11. Вычислить интеграл:  

б) ; в) ; г) ;д) ;

 е) ; ё) ; ж)  ;

з) ; и) ;  Й) ;к) .

Решение.

а)Так как подынтегральная функция =  - нечетная относительно ,действительно,

, поэтому делая подстановку  имеем:

 

;

б) Так как, подынтегральная функция

 нечетная относительно косинуса,то есть , при этом предварительно преобразовав подынтегральную функцию, выделив множитель  , а далее сделав подстановку , имеем:

 

в)Под знаком интеграла четная относительно  и  функция, то есть  

,поэтому данное выражение рационализируется при помощи подстановки

;

г)Функция под знаком интеграла чётная относительно  и ,так как

но здесь нет необходимости делать подстановку  гораздо удобнее  преобразовать подынтегральную функцию,

в итоге получим сводящийся к табличному интеграл:

д)  В данном случае имеет смысл воспользоваться   тождеством ,тогда имеем:

 

 

;

е) Преобразовывая произведение синусов в разность косинусов , получим:

ё)Так как подынтегральная функция  имеет вид    , где ,то применяя формулу понижения степени  ,получим:

ж)

;

з)Интеграл имеет вид ,где .Необходимо выделить множитель :

и)

й) Подынтегральная функция общего вида (ни чётная, ни нечётная),то есть не обладает ни одним из перечисленных выше свойств, поэтому применяем универсальную подстановку :

;

к) Аналогично, применяем универсальную подстановку:

3.3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Перед тем как находить интеграл от иррациональной функции, вспомним ее определение. Функция называется иррациональной, если переменная величина находится под знаком корня.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой, может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим подстановки для интегрирования различных типов иррациональных функций:

1) Рассмотрим интеграл

, где

 — рациональная функция, — целые числа.

Подстановка, рационализирующая подынтегральную функцию имеет вид:  ,  где — наименьшее общее кратное (НОК)

чисел , то есть, наименьшее натуральное число, делящееся нацело на .

 

Пример 3.12. Вычислить интеграл .

Решение.

Переходя от корня к степени имеем:  заметим,что ,следовательно данное выражение рационализируется с помощью подстановки :

 

 

 

 

Замечание: Аналогично рационализируются интегралы вида ,то есть при помощи подстановки .

Пример 3.13. Найти интеграл

Решение.

Переходя от корня к степени имеем:  заметим, что ,НОК(3)=3=s,следовательно данное выражение рационализируется с помощью подстановки

 ,учитывая, что

 имеем:

 

2) Интегралы вида   рационализируются при помощи соответствующей тригонометрической подстановки:

а) Для  подстановка

б)  подстановка

в)  подстановка  или .

Пример 3.14. Вычислить интеграл .

Решение.

Интеграл имеет вид  где ,следовательно, интеграл рационализируется при помощи подстановки :

=

 

 

Пример 3.15. Вычислить интеграл .

Решение.

Интеграл имеет вид  ,где  ,следовательно, интеграл рационализируется с помощью подстановки :

=

3) Интегралы вида   рационализируется по следующему правилу.

Правило: Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене   и вводим новую переменную  (выражение в скобках, выделенного квадрата),получим интеграл одного из трех видов (относительно новой переменной :  

, после чего делаем соответствующие тригонометрические замены:

      Пример 3.16. Вычислить интеграл

Решение.

Преобразуем подынтегральную функцию выделяя полный квадрат под корнем: .Сделав подстановку  имеем:

;

 Заметим, что интеграл имеет вид , где ,следовательно интеграл рационализируется с помощью подстановки :

.

3.4. «Берущиеся» и «не берущиеся» интегралы.

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых искусственных приемов интегрирования и от практических навыков решения интегралов.

Пример 3.17. Вычислить .

Решение.

,можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

Пример 3.18. Вычислить .

Решение.

Вряд ли стоит вычислять интеграл

раскладывая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Заметив, что числитель  является производной знаменателя , легко получить табличный интеграл:

.

Рассмотренные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл. Говорят, что   берется (вычисляется),если интеграл выражается через элементарные функции. Если интеграл не выражается через элементарные функции,то интеграл не берется (или его нельзя найти).

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы (так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна подынтегральному выражению):

1)  - интеграл Пуассона;

2) ,  - интегралы Френеля;

3)  - интегральный логарифм;

4)  - приводится к интегральному логарифму;

5) ,  - интегральный синус и косинус соответственно.

Замечание: Первообразные от функций 1)-5), хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента.

Задания для самостоятельного решения

7. а) Найти интегралы от правильных рациональных дробей: