Разложение интеграла на алгебраическую сумму.

Аннотация

 

Учебно-методическое пособие по одному из самых больших и сложных разделов высшей математики интегрирование предназначено для преподавателей и студентов всех технических направлений подготовки бакалавриата. Содержит теоретический материал, методические рекомендации по решению задач, типовые задачи с подробными решениями, варианты типовых заданий по разделу «Интегральное исчисление функций одной переменной». Составлено для проведения теоретических и практических работ по дисциплине «Высшая математика». Студентам это пособие поможет подготовиться   к практическим, рейтинговым занятиям по данному разделу, а преподавателю сэкономит время на подготовку практических и домашних заданий. 

 

Автор

ст. преподаватель Ермилова О.В.

 

Оглавление

ГЛАВА1. Первообразная и неопределённый интеграл 4

1.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла….. 4

1.2. Свойства неопределенного интеграла. 6

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов..9

ГЛАВА 2. Основные методы интегрирования. 14

2.1. Метод непосредственного интегрирования. 14

2.2. Метод замены переменных. 19

2.3. Метод интегрирование по частям. 25

ГЛАВА3. Методы интегрирования различных классов функций 30

3.1. Интегрирование рациональных функций.30

3.2. Интегрирование тригонометрических функций. 54

3.3. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 62

3.4. «Берущиеся» и «не берущиеся» интегралы. 68

ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 71

4.1. Определение определенного интеграла и геометрический смысл. 71

4.2. Формула Ньютона-Лейбница. 74

4.3. Свойства определенного интеграла. 77

4.4. Методы вычисления определенного интеграла. 84

4.5. Несобственные интегралы. 91

ГлАВА 5. Приложения определенного интеграла. 106

5.1. Вычисление площадей плоских фигур. 106

5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой. 116

5.3. Вычисление объемов тел вращения. 123

Литература. 131

 

ГЛАВА1. Первообразная и неопределённый интеграл

1.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

 Одной из основных задач дифференциального исчисления как мы уже знаем является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции  найти такую функцию  ,производная от которой была бы равна функции , то есть

Таким образом, восстановление функции по известной производной этой функции - одна из задач интегрального исчисления.

Функция  называется первообразной функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство: .

Пример 1.1. Показать, что функция  является первообразной для функции .

Решение.

 Так как , следовательно  является первообразной для функции

.Очевидно, что первообразными будут так же любые функции вида , где , так как .

Теорема 1.1. Если функция  первообразная для функции  на , то множество всех первообразных для  задается формулой , где -постоянное число.

Доказательство.

Если функция  первообразная для функции ,то

Пусть функция  любая другая первообразная для функции  на , то есть . Тогда для любого  имеем:

, отсюда , тогда  

 

 Совокупность всех первообразных , где  -одна из первообразных функции ,  называют неопределенным интегралом от функции  

  Обозначение:

Функция  называется подынтегральной функцией,  подынтегральное выражение,  переменная интегрирования,  знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием.

 

Рис. 1

Геометрический смысл неопределенного интеграла – это семейство параллельных интегральных кривых  ,где каждому числовому значению  соответствует определенная кривая семейства(рис.1.).

График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Замечание: -Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

1.2. Свойства неопределенного интеграла.

Отметим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

Доказательство. 

.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

Доказательство.

 

Замечание: Из данных свойств, следует, что интегрирование является обратной операцией к дифференцированию, обратное так же верно.

Пример 1.2. Проверить верно ли равенство .

Решение.

 дифференциал правой части исходного равенства совпадает с подынтегральным выражением в левой части  ,следовательно равенство верно.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции, то есть

.

Доказательство.

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме(разности) неопределенных интегралов от этих функций, то есть

.

Доказательство.

Действительно, пусть первообразные для функций  и  соответственно, то есть

 и , тогда

.

Замечание: Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

, где

Доказательство.

 ,где .

Замечание: Свойства 4 и 5 можно объединить в одно и получить равенство

 свойство линейно сти неопределённого интеграла, данное равенство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

6. Инвариантностьформулыинтегрирования:

Если , то где  произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство.

Пусть независимая переменная, непрерывная функция и её первообразная, тогда как нам уже известно Положим теперь , где -непрерывно- дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию  В силу инвариантности   дифференциала функции имеем:

Таким образом, любая формула интегрирования остается справедливой при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции.

Так, например, в формуле    вместо буквы   при интегрировании может быть использована любая другая буква, например   и так далее.

Заменим  на  имеем:   

В частности, например,

 

1.3. Таблица  неопределенных интегралов.

Пользуясь тем, что действие обратное интегрированию дифференцирование, можно составить таблицу основных интегралов с помощью которой получаем различные значения неопределенных интегралов от заданных функций.

 

Таблица основных интегралов.

1.  

2.

3.

4.  

5.      

6.  

7.

8.

9.

10.  

11.  

12.

13. «Длинный» логарифм:

 

14. «Высокий» логарифм:

 

 

Интегралы в выше приводимой таблице называются табличными. Их следует знать наизусть.

Вывод этих формул сводится к проверке того, что дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой части равенства, и не представляет  особого труда показать это для всех формул, докажем,например, справедливость формул 4, 8,12:

4) , подынтегральная функция  определена для всех значений возможны два случая:

 а) Если , то  и , то

 

 б) Если  то  и  то

В обоих случаях получили подынтегральную функцию  , следовательно, формула верна;

получена подынтегральная функция, значит, формула справедлива;

12)

- получили подынтегральную функцию, формула верна.

Пример 1.3. Используя таблицу и основные свойства неопределенных интегралов найти интеграл:

 а)  б)

в)

 

Решение.

а) В таблице интегралов - интеграла от корня нет, зато есть интеграл от степенной функции (формула 3 в таблице интегралов), поэтому переходя от корня к степени и интегрируя, получим:

 

б) Применяя свойства неопределенного интеграла и  табличные формулы 3, 5,2 соответственно, имеем:

   При каждом интегрировании мы получаем свою произвольную постоянную, но нет необходимости писать её при вычислении каждого интеграла. Достаточно написать ее после выполнений всех интегрирований, так как сумма (разность) постоянных является постоянной Таким образом, имеем:

в) Применяя свойства неопределенного интеграла и табличные формулы, получим:

Пример 1.4. Вычислить интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение.

Проверка:

,дифференциал правой части полученного равенства совпадает с подынтегральным выражением  исходного равенства – значит, интеграл вычислен правильно.

 

ГЛАВА2. Основные методы интегрирования

При интегрировании нет какого–либо общего приема вычисления интеграла. Имеется лишь ряд методов, позволяющих свести данный интеграл к табличному виду. Такими методами являются: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

2.1. Метод непосредственного интегрирования.

    Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Данный метод включает два основных приема: 1) разложение интеграла на алгебраическую сумму;2) подведение функции под знак дифференциала. Эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности. Разберем каждый прием в отдельности, а затем рассмотрим совместное их применение.

Ответы:

1.1. ; 1.2.

1.3. ; 1.4.

1.5. ; 1.6. ; 1.7.   1.8.  1.9. ; 1.10. ; 1.11. ; 1.12.   1.13. ; 1.14. ; 1.15. ; 1.16. ; 1.17.   1.18.

1.19.   1.20. ; 1.21. ; 1.22.   1.23. 1.24.   1.25. ; 1.26.

2. Методом подведением функции под знак дифференциала вычислить интегралы:

 

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

 

Ответы:

2.1. 2.2.

2.3. ; 2.4.

2.5. ; 2.6. ; 2.7.   2.8.  2.9. ; 2.10.   2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. ;

2.16. ; 2.17. ; 2.18. ; 2.19. ;

2.20. ; 2.21. ;

2.22. ; 2.23. ; 2.24. ; 2.25. ; 2.26. .

3.Вычислить интегралы от выражений содержащих квадратный трехчлен:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

 Ответы:

3.1. 3.2.

3.3. ; 3.4.

3.5. ; 3.6 ; 3.7. ; 3.8.  3.9. ; 3.10.   3.11. ; 3.12. ; 3.13. ;

  3.14. ; 3.15. ; 3.16. ; 3.17. ; 3.18. ; 3.19. ; 3.20.   3.21. ;

3.22. ; 3.23. ; 3.24. ; 3.25. ; 3.26. .

4.Вычислить интегралы от выражений содержащих квадратных трехчлен:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		2 1.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

4.1. ; 4.2. 4.3. ; 4.4. 4.5. ; 4.6 ; 4.7. ; 4.8. ;  4.9. ; 4.10.   4.11. ; 4.12. ; 4.13. ; 4.14. ; 4.15.  4.16. ; 4.17. ; 4.18. ; 4.19. ; 4.20.   4.21. ; 4.22. ; 4.23. ; 4.24. ; 4.25. ;

4.26.

5.Найти интегралы методом замены переменной:

 

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

 5.1.   5.2.

5.3. ; 5.4.

5.5. ; 5.6. ; 5.7. ; 5.8.  5.9.  5.10.   5.11. ; 5.12. ; 5.13. ; 5.14. ; 5.15. ; 5.16. ; 5.17. ; 5.18. ; 5.19. ; 5.20.   5.21. ; 5.22. ; 5.23. ; 5.24. ; 5.25. ; 5.26.

6.Найти интегралы, используя формулу интегрирование по частям:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

6.1. 6.2. 6.3. ; 6.4. 6.5. ; 6.6 ; 6.7. ; 6.8.  6.9.    6.10.   6.11. ; 6.12. ; 6.13. ; 6.14. ; 6.15. ; 6.16. ; 6.17. ; 6.18 ; 6.19. ; 6.20.   6.21. ; 6.22. ; 6.23. ; 6.24. ; 6.25. ;

6.26. .

 

ГЛАВА 3. Методы интегрирования различных классов функций

Рассмотрим методы интегрирования различных классов функций: дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических функций. Интегралы от данных функций сводятся к табличным соответствующей подстановкой для данного типа подынтегрального выражения.

3.1. Интегрирование рациональных функций.

             Дробно-рациональной функций (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть функция вида

  (3.1),

где , многочлены от переменной  степени соответственно,  -натуральные числа.

Рациональная дробь называется правильной, если и неправильной, если .

Например, дробь правильная, так как