Интегрирование по частям в определенном интеграле.

При выводе формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле было получено равенство . Проинтегрировав его в пределах от  до в соответствии со свойствами определенного интеграла имеем:

; или

  (4.5)

Формула (4.5) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 4.5. Вычислить интеграл: а) ;

б) ;в)

Решение.

а) Интегрируем по частям, получим:

б)

.

 

в)

 

4.5.Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования.

Пусть функция  непрерывна на отрезке  симметричном относительно . Докажем, следующее:

(4.6)

Разобьем отрезок интегрирования  на части  и .Тогда используя свойства определенного интеграла имеем:

(4.7)

Сделаем в первом интеграле(в сумме) подстановку  получим:

(определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования);

 

Вернемся к равенству (4.7):

;

Если функция чётная, то есть ,то

Если функция нечётная, то есть ,то

Таким образом, равенство (4.7) принимает вид (4.6).

 

Пример 4.6. Вычислить интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция  является четной, так как . Следовательно, по формуле (4.6) получим:

 .

 

Пример 4.7. Найти интегралы:  а) ; 

б) ; в) .

Решение.

а)Благодаря формуле (4.6) можно  не вычисляя интеграл сказать, что он равны нулю, так как, подынтегральная функция  нечетная,
а пределы интегрирования симметричны.

Итак,

б) , так как функция нечётная,

в)Аналогично, ,

 

4.6. Несобственные интегралы.

Интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция  непрерывна на отрезке , называют еще собственным интегралом. Зададимся вопросом, всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например,  интеграл  не существует, поскольку отрезок интегрирования  не входит в область определения подынтегральной функции ,действительно, область определения исходной функции удовлетворяет системе уравнений ,то есть удовлетворяет неравенству  .

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости, но определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций на данном промежутке.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы. Различают несобственные интегралы первого и второго рода. Несобственные интегралы первого рода - это случаи определённых интегралов от непрерывной функции на заданном промежутке интегрирования, но с бесконечным верхним или нижним пределом интегрирования, или с двумя бесконечными пределами. Несобственные интегралы второго рода -это случаи определенных интегралов с конечными промежутками интегрирования, ноот функций, имеющих бесконечный разрыв в нижнем или верхнем пределе интегрирования или в обоих пределах(и в нижнем и в верхнем), или во внутренней точке интервала интегрирования. Разберём эти случаи поподробно.

 

Несобственные интегралы первого рода   (интегралы с бесконечными пределами интегрирования).

Пусть, функция , определена и непрерывна на промежутке (рис.3). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода.

Обозначение: .

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Замечание: Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис.3)

Рис.3

Аналогично определяется несобственные интеграл на промежутке : ;

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования, обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой - с конечным нижним пределом интегрирования:

,где , интеграл слева сходится, если сходятся оба интеграла справа.

 

Замечание: В качестве внутренней точки удобно взять значение при условии, что подынтегральная функция непрерывна в этой точке.

 

Пример 4.8. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а) б) в)

 

Решение.

а)

, так как при

функция  не имеет предела, следовательно, интеграл расходится;

б)

 интеграл сходится;

в)Поскольку оба предела интегрирования (верхний и нижний) бесконечны разбиваем интеграл на два несобственных интеграла, если они оба сходятся, то исходный интеграл сходится:

 

, но в данном случае это не рационально, так как  подынтегральная функция  является четной  с симметричными пределами интегрирования, будет удобным воспользоваться  формулой (4.6),то есть

Под знаком интеграла рациональная дробь, поэтому применяя алгоритм интегрирования рациональных дробей, получим:

(так как, знаменатель полученной дроби имеет комплексные корни )

Получим систему  , решая её получим .Коэффициенты найдены, вернемся к вычислению предела:

 

.

 

Пример 4.9. При каких значениях несобственный интеграл  сходится и при каких расходится?

Решение.

Если  то

Если то

Таким образом, интеграл  сходится при  и расходится при .

 

Замечание: В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл. Достаточно лишь знать, сходится он или расходится.

Сформулируемпризнаки сходимости несобственных интегралов первого рода.

 

Теорема 4.3. (признак сравнения).

Если на промежутке непрерывные функции  , удовлетворяют условию  и интеграл  сходится, то   тоже сходится, а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

 

Теорема 4.4. (предельный признак). Если существует предел ,

(, ), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

 

Замечание:  В качестве эталона для сравнения функций часто берут функцию .В примере 4.9 показано, что несобственный интеграл сходится при  и расходится при .

 

Пример 4.10. Исследовать сходимость интеграла: а)  ;б) в)

г) д) .

Решение.

а)Сравним функцию с функцией .Как известно, интеграл  сходится, так как .На промежутке  имеем ,следовательно интеграл сходится по  признаку сравнения (из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего);

б)Здесь подынтегральная функция
, при . Рассмотрим функцию , интеграл от которой сходиться . А так как существует предел (используем предельный признак):

следовательно исходный интеграл   сходится.

Оставшиеся несобственные интегралы: в) г) д) ,

рекомендуется исследовать на сходимость самостоятельно, для закрепления изученного материала.

Несобственные интегралы второго рода.

Пусть функция  непрерывна на промежутке  и  имеет бесконечный разрыв при (рис.4). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода.

Обозначение: .

 

        Рис.4

Замечание: Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (рис.4)

 

Аналогично, если функция  непрерывна на промежутке  и имеет бесконечный разрыв в точке , то .

Если функция  имеет разрыв во внутренней точке  отрезка , то

,где .

Если сходятся оба интеграла справа, то сходится и суммарный интеграл слева.

 

Замечание: Точек разрыва внутри отрезка может быть несколько. В частности, если подынтегральная функция  разрывна на концах интервала то есть одновременно при и при ,то необходимо сместиться в окрестности этих точек справа и слева соответственно.

 

Пример 4.11. Вычислить несобственные интегралы второго рода или установить их расходимость:

 а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция

разрывна в (·) ,поэтому смещаемся в окрестность точки слева:

,

 следовательно, исходный интеграл расходится;

б) Подынтегральная функция разрывна в (·) .В соответствии с правилом вычисления несобственных интегралов второго рода, имеем:

в) Подынтегральная функция  разрывна на концах интервала, то есть при ,поэтому имеем:

,

интеграл слева расходится, так как оба интеграла справа расходятся ( – не существует);

г)Подынтегральная функция  разрывна во внутренней (·) . Поэтому,

.

 

Пример 4.1 2. При каких значениях  несобственный интеграл  сходится и при каких расходится?

Решение.

Функция разрывна в (·) . Рассмотрим случаи:

Если  то ;

Если  то

.

Таким образом, интеграл сходится  при  и расходится при .

Замечание: В некоторых задачах интегрирования нет необходимости вычислять интеграл, достаточно установить его сходимость  или расходимость.     Сформулируемпризнаки сходимости несобственных интегралов второго рода.

 

Теорема 4.5. (признак сравнения)

   Пусть непрерывные на промежутке  функции , , при  терпят бесконечный  разрыв и удовлетворяют условию

.Из сходимости  интеграл  вытекает сходимость интеграла  , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

Теорема 4.6. (предельный признак)

Пусть функции , непрерывны на промежутке , в точке терпят разрыв. Если существует предел ,то интегралы  и     сходятся или расходятся одновременно.

Замечание:  В качестве эталона для сравнения функций часто берут функцию .В примере 4.12 показано, что несобственный интеграл  сходится при

 и расходится при .

Пример 4.13. Исследовать сходимость интеграла:

а) .;б) в) ;г)

Решение.

а) Подынтегральная функция разрывна в точке .Сравним ее с функцией     интеграл от которой  сходится, так как .Очевидна такая оценка на промежутке :  , следовательно, несобственный интеграл сходится (по  признаку сравнения);

б) Функция разрывна в точке .Рассмотрим функцию , интеграл от которой   расходится, так как . А так как существует предел , то по предельному признаку интеграл  расходится.

Следующие несобственные интегралы, для закрепления изученного материала, рекомендуется исследовать на сходимость самостоятельно:: в) ;г) .

Задания для самостоятельного решения

10. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, применив один из методов интегрирования:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 14.     15.   16.   17.   18.   19.   20.   21.   22.   23.   11. 12. 13. 24.   25.   26.

 

Ответы:     

10. 1. ; 10.2. ; 10.3. 2; 10.4. ; 10.5. ; 10.6. ; 10.7. ; 10.8. 10.9. ;

10.10. ; 10.11. ; 10.12. ; 10.13. ; 10.14.

 10.15. ; 10.16. ; 10.17. 10.18. ; 10.19 ; 10.20  

10.21. ; 10.22. ; 10.23. ; 10.24. ; 10.25. ;

10.26

11. Вычислить несобственные интегралы первого рода или установить их расходимость:

1. 14.   2. 15. 3. 16. 4. 17. 5. 18. 6. 19. 7. 20. 8. 21. 9. 22. 10. 23. 11. 24. 12. 25. 13. 26.

  Ответы:

11.1. ; 11.2. 1; 11.3. расходится; 11.4. ; 11.5. ; 11.6. расходится; 11.7. расходится; 11.8. ; 11.9. расходится; 11.10. ; 11.11. расходится; 11.12. ; 11.13. расходится; 11.14. 11.15. ; 11.16. ; 11.17. 11.18. расходится; 11.19. ; 11.20 11.21. ; 11.22. ; 11.23. ; 11.24. ; 11.25. расходится; 11.26

12. Вычислить несобственные интегралы второго рода или установить их расходимость:

1. 2. 3. 14.     15.   16.   4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 17.   18.   19.   20.   21.   22.   23.   24.   25.   26.

   Ответы: 

12.1. расходится; 12.2. ; 12.3. расходится 12.4. ;

12.5. ; 12.6. расходится; 12.7. расходится; 12.8. -1;

12.9. расходится; 12.10. расходится; 12.11. ; 12.12. ; 12.13. расходится; 12.14. ; 12.15. ; 12.16. расходится; 12.17. расходится; 12.18. ; 12.19 ; 12.20. расходится; 12.21. ; 12.22. ; 12.23. ; 12.24. расходится; 12.25. ; 12.26. .

 

 

ГлАВА 5. Приложения определенного интеграла

Определённый интеграл используется в различных приложениях: при вычислении площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения и др.

5.1. Вычисление площадей плоских фигур