Тема 2. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Типы опор (связей)

1. Гладкая поверхность.

Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела в первом приближении можно пренебречь. Эта связь не дает телу перемещаться только по направлению общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1). Поэтому реакция  гладкой поверхности направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис.2), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

                                                                                     

                                                                                          

 

 

                   рис. 1                                                   рис.2

2. Гибкая нерастяжимая нить.

Гибкой нерастяжимой нитью будем называть такую связь, реакция  которой направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 3). Поскольку нить работает только на растяжение, то реакция нити всегда направлена от данного тела вдоль самой нити.

                                                                                      

 

                                                                                          

                                                                                                                                 

                                                                                             

                      рис. 3                                                     рис.4

9

3. Цилиндрический шарнир (подшипник).

Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром. Осевая линия болта называется осью шарнира. Тело , прикрепленное шарниром к опоре  (рис. 4), может свободно вращаться в плоскости чертежа, при этом конец  тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция  цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости . В этом случае модуль и направление реакции  будут определяться действующими на тело  внешними силами.

 

4. Шаровой (сферический) шарнир и подпятник.

Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу и подшипник с упором (подпятник) (рис. 5). Реакция  шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее заранее не известны ни модуль реакции , ни углы, образуемые ею с осями .

 

5. Стержень.

Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень , закрепленный на концах шарнирами (рис. 6). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в шарнирах  и . Если стержень  находится в равновесии, то по аксиоме 1 эти силы должны быть прямопротивоположными. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция  стержня будет направлена вдоль оси стержня.

10

6. Жесткая заделка.

В этом случае конец балки защемлен между опорными плоскостями. Этот тип опорного закрепления препятствует любому отрыву от себя, а также вращению. Таким образом, данный тип опоры дают неизвестные составляющие реакции ,  и опорный момент (рис. 7).

 

Принцип освобождения от связей.

Любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если связи, наложенные на тело отбросить и заменить их действие реакциями этих связей.

Этот принцип позволяет свести изучение равновесия несвободного тела к изучению равновесия свободного тела. Например, брус  весом  (рис. 8а), для которого связями являются гладкая плоскость  и опора , можно рассматривать как свободное тело (рис. 8б), находящееся в равновесии под действием заданной силы  и реакций связей , .

 

                                                                          

                                                                         

 

                                                                                           

                                                                   

                            рис. 8а                                           рис.8б

 

Эквивалентность пар.

Теорема. Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения, эквивалентны.

Доказательство: даны две пары  и , лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения (рис. 22а). Требуется доказать, что эти пары эквивалентны.

    Продлеваем линии действия этих сил и получаем линию пересечения АВ плоскостей пар  и  (рис. 22б). Далее, переносим силы  и  вдоль линий их действия в точки А и В соответственно и раскладываем силы на составляющие  на  и , а  на  и  (рис. 22в). Причем , , и линии действия сил  и  направлены вдоль АС и ВЕ соответственно, а силы  и  прямопротивоположные и направлены вдоль АВ. На основании аксиомы 2, не изменяя состояния тела, силы  и  можно отбросить, и в результате мы получаем пару сил с плечом  (рис. 22г).

19

Покажем, что момент полученной пары  будет численно равен моменту первоначальной пары . Для этого воспользуемся теоремой Вариньона, которая для нашего случая будет иметь вид (рис. 22в): , причем , т.к. линия действия силы  пересекает точку . Следовательно,  или . Тогда учитывая начальные условия, получаем: . Учитывая, что у пар  и  одинаковые плечи, и алгебраические моменты, получаем, что силы этих пар равны, как по модулю, так и по направлению, т.е. данные пары эквивалентны.

    Из доказанной теоремы получаем следующие следствия.

Следствие 1. Данную пару, не изменяя ее действия на тело, можно как угодно переносить в ее плоскости действия. Следовательно, действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости.

Следствие 2. Не изменяя действия данной пары на тело, можно менять модули сил и плечо данной пары, но при условии, что ее момент и направление вращения остаются неизменными.

Следствие 3. Две данные пары всегда можно привести к одному плечу.

 

Момент пары как вектор.

    Понятием алгебраического момента пары удобно пользоваться, если все пары лежат в одной плоскости. Теперь представим, что требуется рассмотреть пары, плоскости действия которых, по отношению друг к другу, расположены в пространстве. В этом случае вводится понятие векторного момента пары. По аналогии с векторным моментом силы относительно центра, векторный момент пары должен определять:

- плоскость действия данной пары;

- направление вращения пары в этой плоскости;

- численное значение момента пары.

Таким образом, модуль этого вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента пары, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости действия пары. Принято направлять векторный момент пары по перпендикуляру к ее плоскости в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару,

20

видеть эту пару вращающей тело против хода часовой стрелки (рис. 23).

    Исходя из того, что действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости действия, точка приложения векторного момента пары значения не имеет. Условно, за эту точку принимают середину отрезка, соединяющего точки приложения сил данной пары.

Распределенные нагрузки.

    На практике часто вместо сосредоточенных сил сталкиваются с нагрузками, распределенными по поверхностям по тому или иному закону. В этом случае вводится понятие интенсивности распределенной нагрузки . В зависимости от того, по какой поверхности распределены силы, интенсивность  может иметь размерность: , , . Рассмотрим нагрузку, распределенную по длине для различных случаев.

1. Равномерно – распределенная нагрузка вдоль отрезка прямой .

    В этом случае силы, равномерно распределены вдоль отрезка прямой . Для такой системы сил интенсивность  имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил нужно заменить равнодействующей  (рис. 29). Общее правило замены распределенной нагрузки сосредоточенной силой: модуль сосредоточенной силы  численно равен площади фигуры, которую образует распределенная нагрузка, а линия действия этой силы проходит через центр тяжести фигуры, которую образует данная распределенная нагрузка.                                                           25

     Применяя это правило к схеме показанной на рисунке 29 получаем, что  и проходит эта сила через центр тяжести прямоугольника , т.е. через точку пересечения диагоналей и делит сторону   пополам.

2. Нагрузка, распределенная вдоль отрезка по линейному закону.

В этом случае силы, распределены вдоль отрезка прямой  по линейному закону, т.е. интенсивность  меняется от нуля до (рис. 30). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды, распределенные по высоте какого – либо не полностью погруженного тела. Действуя по процедуре описанной выше, также заменяем эту распределенную нагрузку сосредоточенной силой .  и проходит эта сила через центр тяжести треугольника , т.е. через точку пересечения медиан и делит высоту   в отношении   от основания   и   от вершины .

3. Нагрузка, распределенная вдоль отрезка прямой по произвольному закону.

Такой вид нагрузки показан на рисунке 31а. Требуется заменить эту нагрузку сосредоточенной силой  определив ее точку приложения по процедуре описанной ранее. Для примера примем, что интенсивность  зависит от длины распределения , т.е. . Покажем, как можно сделать переход от схемы 31а к схеме 31б.

Первую часть задачи, т.е. определения модуля силы  можно решить следующим образом. Разбиваем произвольную фигуру, показанную на рисунке

26

31а на ряд бесконечно малых прямоугольников длиной . Модуль сосредоточенной силы от этой элементарной нагрузки будет равен . Переходя от элементарных фигур к фигуре показанной на рисунке 31а берем интеграл по длине : .

    Теперь переходим ко второй части задачи, т.е. определяем точку приложения этой силы. Для этого воспользуемся теоремой Вариньона. Применительно к данным схемам она будет выглядеть следующим образом: . Разбиваем произвольную фигуру, показанную на рисунке 31а на ряд бесконечно малых прямоугольников длиной . Модуль сосредоточенной силы от этой элементарной нагрузки будет равен . Определяем момент этой силы относительно точки : . Тогда . Но с другой стороны, если посмотреть на рисунок 31б, . Приравнивая правые части полученных равенств, получаем выражение для : , отсюда .

4. Нагрузка, равномерно распределенная по дуге окружности.

Примером такой нагрузки могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда (рис. 32).

 

    Из симметрии видно, что сумма проекций этих сил на ось  равна нулю. Следовательно,  их  равнодействующая   направлена вдоль оси . По модулю

27

, где  - сила, действующая на элемент дуги длиной ,  - угол, образуемой этой силой с осью х. Из рисунка видно, что , тогда, вынося общий сомножитель  за знак суммы, получаем: . Окончательно , где  - длина хорды, стягиваемой дугою .

 

Для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

, ,  , . Тогда

2. Вторая форма условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно каких - нибудь двух центров  и  и сумма проекций этих сил на ось , не перпендикулярную , были равны нулю.

    Эта форма записи содержит ограничение, чтобыось  была не перпендикулярна . Суть этого ограничения состоит в следующем. Допустим, что в результате приведения плоской системе сил, она привилась к равнодействующей , причем линия действия этой силы может проходить через центры  и . Тогда,  если мы ось   направим  перпендикулярно , то

28

проекция равнодействующей на эту ось будет равна нулю. Следовательно, все условия равновесия выполняются, но система в равновесии не находится. Значит, для того, чтобы «поймать» этот вектор  ось  должна составлять с линией  любой угол, кроме прямого.

3. Третья форма условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно каких - нибудь трех центров , не лежащих на одной линии, были равны нулю.

Эта форма записи также содержит ограничение, которое объяснялось во второй форме записи.

 

Тема 9. Кинематика. Кинематика точки. Основные понятия.

    Кинематико й называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движение материальных тел без учета их инертности (массы), а также причин, вызывающих данное движение (сил).

    Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как здесь вводятся основные понятия и зависимости необходимые для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.

    Под движением в механике понимается изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам. Для определения положения движущегося тела с тем телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую – нибудь систему осей координат, которую будем называть системой отсчета.

Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к данной системе отсчета находится в покое (этот случай рассматривался в разделе статика). Если же координаты, каких – нибудь точек тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к данной системе отсчета находится в движении.

    Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике рассматривается, как трехмерное, а время считается универсальным, т.е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. Время является скалярной, непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики оно принимается за независимую переменную (аргумент), а все остальные величины (координаты, скорости и т.д.) рассматриваются как функции этого аргумента.    

    Кинематику делят на кинематику точки и кинематику системы материальных точек (тела). В кинематике решаются две основные задачи:

- первая задача состоит в установлении математических способов задания движения точек или тел;

36

- вторая задача заключается в том, чтобы, зная закон движения данного тела или точки, определить все кинематические величины, характеризующие как движение тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности.

    Для решения задач кинематики необходимо, чтобы непосредственно был задан или закон движения данного тела или же закон движения, какого – нибудь другого тела, кинематически связанного с данным.

 

Способы задания движения точки.

    Чтобы задать движение точки, надо задать ее положение по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени. Для этого задания можно применять один из трех способов: естественный, координатный, векторный.

1. Естественный способ задания движения точки.

    Естественным способом задания движения пользуются в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным, а если кривой линией – то криволинейным.

Пусть точка  движется относительно системы отсчета, вдоль некоторой траектории  (рис. 40). Выберем на этой траектории какую – нибудь неподвижную точку , которую примем за начало отсчета,   а затем,   рассматривая траекторию как координатную ось, установим на ней положительное и отрицательное направление, как на обычной координатной оси.

 

Тогда положение точки  на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой , равной расстоянию от точки  до точки , измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.

При движении точка  будет перемещаться вдоль траектории, следовательно, расстояние  будет с течением времени изменяться. Чтобы определить положение точки на траектории в любой момент времени надо знать зависимость вида:

                                                                                                            (13)

Это уравнение выражает закон движения точки. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо знать:

37

1. Траекторию движения точки;

2. Начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;

3. Закон движения точки вдоль траектории .                                           

    Следует отметить, что величина  определяет положение точки, а не пройденный ей путь. Например, если точка, двигаясь из начала отсчета , доходит до положения , а затем, двигаясь в обратном направлении, приходит в положение , то в этот момент ее координата , а пройденный за это время движения путь будет равен .

 

2.Координатный способ задания движения точки.

В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде:

                                  , ,                                             (14)

При координатном способе задания движения точки, траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами , которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.

    Если движущаяся точка остается за все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную , получаем два уравнения движения , .

    Уравнения движения точки в координатной форме представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где за независимый параметр принято время. Исключая его из уравнений движения, получаем уравнение траектории.    

    При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).

 

 

38

Положение точки в этом случае будут определять полярный угол  и вектор , т.е. уравнения движения точки в полярных координатах имеют вид: .

3.Векторный способ задания движения точки.

В этом случае положение точки в пространстве определяется только радиусом – вектором, проведенным из начала декартовой системы координат (рис. 43). Уравнение движения в этом случае имеет вид:

                                                                                                                  (15)

Векторный способ задания движения удобен для установления общих зависимостей, так как позволяет описать движение точки одним векторным уравнением вместо трех скалярных.

 

Связь между различными способами задания движения.

    В этом параграфе показано, как можно сделать переход от одного способа задания движения точки к другому.

а) Переход от координатного способа задания движения к векторному. 

Эту связь легко получить, если ввести единичные векторы (орты) осей , ,  (рис. 43). Тогда учитывая, что проекции вектора  на оси  равны координатам точки , т.е. , получаем:

                                                                                              (16)

По зависимости (16), можно сделать переход от координатного способа задания движения к векторному, и наоборот 

б) Переход от координатного способа задания движения к естественному. 

    Допустим, что движение задано в виде уравнений (14). Известно, что  или , где , , . Отсюда получаем:                                                                              (17)

 

 

Кинематика твердого тела

Типы опор (связей)

1. Гладкая поверхность.

Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела в первом приближении можно пренебречь. Эта связь не дает телу перемещаться только по направлению общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1). Поэтому реакция  гладкой поверхности направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис.2), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

                                                                                     

                                                                                          

 

 

                   рис. 1                                                   рис.2

2. Гибкая нерастяжимая нить.

Гибкой нерастяжимой нитью будем называть такую связь, реакция  которой направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 3). Поскольку нить работает только на растяжение, то реакция нити всегда направлена от данного тела вдоль самой нити.

                                                                                      

 

                                                                                          

                                                                                                                                 

                                                                                             

                      рис. 3                                                     рис.4

9

3. Цилиндрический шарнир (подшипник).

Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром. Осевая линия болта называется осью шарнира. Тело , прикрепленное шарниром к опоре  (рис. 4), может свободно вращаться в плоскости чертежа, при этом конец  тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция  цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости . В этом случае модуль и направление реакции  будут определяться действующими на тело  внешними силами.

 

4. Шаровой (сферический) шарнир и подпятник.

Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу и подшипник с упором (подпятник) (рис. 5). Реакция  шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее заранее не известны ни модуль реакции , ни углы, образуемые ею с осями .

 

5. Стержень.

Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень