Три случая расположения двух плоскостей в пространстве

Даны две плоскости:

с нормальным вектором

 с нормальным вектором

1. Пусть (α ₁)  (α ₂), тогда  скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. , т.к. известны координаты векторов, то можем найти скалярное произведение как  – условие перпендикулярности двух плоскостей.

2. Пусть (α ₁)  (α ₂), тогда  координаты пропорциональны, т.е.  – условие параллельности двух плоскостей.

3. Пусть (α₁) и (α₂) пересекаются.

Углом между плоскостями называется один из двух двугранных углов  или , образованных этими плоскостями, причем ,  ,  +  = .

Угол между плоскостями будет равен углу между нормальными векторами плоскостей, следовательно, его можно найти с помощью скалярного произведения:

,

если , то получили угол , если , то получили угол .

 

М 2

М 1

2 способа построения плоскости

М 3

Задача. Построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки

1 способ. Рассмотрим текущую точку плоскости . Построим три вектора (один неизвестный и два известных), выходящие (желательно) из одной известной точки, например, :

, , .

Все три вектора лежат в одной плоскости. Три вектора компланарны только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

М

М 1

М 3

М 2

                                    . 

Раскроем определитель и получим общее уравнение плоскости:

.

М 1

М 3

М 2

2 способ. Построим два вектора, выходящие (желательно) из одной точки, например,              : , . Нормальный вектор плоскости перпендикулярен плоскости, а значит перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости, в частности  и , тогда для того, чтобы найти вектор , надо найти векторное произведение векторов  и : .

Чтобы найти уравнение плоскости, надо, кроме нормального вектора знать координаты точки, лежащей в плоскости. В условии задачи их три. Можно взять любую. Возьмем точку . Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору  имеет вид: . Раскроем скобки и получим общее уравнение плоскости: .

П. 5. Прямая в пространстве

Рассмотрим в пространстве R ³ прямую (а), проходящую через данную точку , параллельно заданному вектору . Вектор – направляющий вектор прямой.       

М

М 0

а

 

Вывод уравнения (а): Рассмотрим текущую точку прямой  и рассмотрим вектор , который будет лежать на прямой (а). Направляющий вектор прямой  параллелен прямой (а), следовательно, векторы  и  параллельны или коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их координат:

                                     – канонические уравнения прямой.      (1)

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и

                                                                                                            (2)

Вывод: Рассмотрим текущую точку прямой  и рассмотрим векторы  и , которые будут параллельны. Условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их координат.

 

Приравняем уравнение (2) к параметру t: , отсюда

или  – параметрические уравнения прямой (3)

 

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей:

                           – общие уравнения прямой                          (4).

Направляющий вектор данной прямой a находится как , координаты точки             M ₀(x ₀, y ₀ z ₀), лежащей на прямой, удовлетворяют системе уравнений (4).

a