П. 4. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее приложениях.

1. Лемниската Бернулли ,

2. Спираль Архимеда

3. Логарифмическая спираль ,

4. Циссоида Диокла  или

5. Кардиоида  или

6. Астроида  или

7. Циклоида    или

 

 

Спираль Архимеда                Циссоиды

                  или синяя и красная линии –

                                                                                                                          ветви циссоиды

 

Кардиоида                                          Астроида                  Циклоида   

              

П. 5. Уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой:            ,                           (1)   

где  и одновременно, т.к. в этом случае уравнение не будет содержать переменных и, следовательно, не будет выражать никакой зависимости между ними.

 - угловой коэффициент 

– нормальный вектор прямой.

 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным нормальным вектором :              .                       (2)

М 0

 

М

Вывод: Рассмотрим текущую (или произвольную) точку прямой . Тогда вектор  лежит на данной прямой. Следовательно, векторы  и  будут перпендикулярны: , то есть их скалярное произведение равно нулю . Найдем скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами:  – (2). Если раскроем скобки, то получим общее уравнение прямой – (1). Точка  называется фиксированной.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку   с заданным угловым коэффициентом k:                                    

,                                              (3)

,  угол между осью Ох (положительным направлением) и прямой.

Взаимное расположение двух прямых

1) Условие параллельности двух прямых:  (координаты пропорциональны ) или .

 

2) Условие перпендикулярности двух прямых:  () или .

3) Угол между прямыми   и

   или  

Точка пересечения прямых находится как:

 

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и :

y

x

b

                                                      .                                                 (4)

a

5. Уравнение прямой в отрезках:            ,                                                    (5)

где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (Ох) и (Оу) соответственно с точностью до знаков.

6. Каноническое уравнение прямой   ,                                               (6)

т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку  параллельно заданному вектору .

– направляющий вектор прямой.

7. Параметрические уравнения прямой ,                                                (7)

т.е. уравнение прямой с параметром t, проходящей через данную точку  параллельно заданному вектору .

Нормальное уравнение прямой

у

х

р

α

β

(а)

О

М 0

δ

                                                                      .            (8)          

Если положение прямой относительно осей координат определять длиной р перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и углом α, образуемым этим перпендикуляром с положительным направлением оси (Ох).

Общее уравнение прямой может быть приведено к нормальному уравнению путем умножения на нормирующий множитель . Знак N выбирается противоположным к знаку С.

Расстояние от точки М ₀(х ₀, у ₀) до прямой

М 0

М 0

d

(9)

 

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно в нормальное уравнение прямой вместо текущих координат  подставить координаты точки  и взять абсолютную величину числа.

Пример 1. Дана прямая (а): .

1) Составить уравнение прямой (а ₁), проходящей через точку М ₀ (2, 1), параллельно данной прямой.

 2) Составить уравнение прямой (а ₂), проходящей через точку М ₀ (2, 1), перпендикулярно данной прямой.

Решение.

1) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие параллельности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а ₁): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид:

.

2 способ. Нормальный вектор . Прямые параллельны, следовательно, параллельны их нормальные вектора. То есть нормальный вектор прямой (а ₁): . Подставим в уравнение (2):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид: .

2) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие перпендикулярности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а ₂): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид: .

2 способ. Нормальный вектор . Прямые перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор прямой (а) параллелен прямой (а ₂), то есть является направляющим вектором прямой (а ₂): . Подставим в уравнение (4):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₂) имеет вид: .

 

Пример 2. Найти расстояние от прямой (АВ), где А (7, 4), В (3, –3) до точки С (5, 9).

Решение. Найдем общее уравнение прямой. Для этого подставим исходные данные в формулу (4):  и получим . Отсюда общее уравнение (АВ): . По формуле (9)  найдем искомое расстояние: .