Глава 3. Аналитическая геометрия.

Глава 3. Аналитическая геометрия.

Системы координат на плоскости. Понятие об уравнении линии на плоскости.

П. 1. Декартовая система координат (ДСК)

 

Декартовая система координат (ДСК) на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных лучей – осей (Ох) и (О y), одинаковой по обеим осям единицы масштаба и начала координат – точки О – точки пересечения осей.

x

y

1

1

-1

x 1

y 1

M (x 1, y 1)

Каждая точка М на плоскости (Оху) имеет координаты х и у и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Определение. Уравнение F (x, y) = 0 определяет на плоскости (Оху) некоторую линию l, представляющую собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Таким образом, линия задается уравнением между координатами, и обратно.

Обычно уравнение разрешено относительно переменной y: y = f (x).

Примеры линий: y = x – уравнение прямой, x ² + y ² = 9 – уравнение окружности.

 

П. 4. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее приложениях.

1. Лемниската Бернулли ,

2. Спираль Архимеда

3. Логарифмическая спираль ,

4. Циссоида Диокла  или

5. Кардиоида  или

6. Астроида  или

7. Циклоида    или

 

 

Спираль Архимеда                Циссоиды

                  или синяя и красная линии –

                                                                                                                          ветви циссоиды

 

Кардиоида                                          Астроида                  Циклоида   

              

П. 5. Уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой:            ,                           (1)   

где  и одновременно, т.к. в этом случае уравнение не будет содержать переменных и, следовательно, не будет выражать никакой зависимости между ними.

 - угловой коэффициент 

– нормальный вектор прямой.

 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным нормальным вектором :              .                       (2)

М 0

 

М

Вывод: Рассмотрим текущую (или произвольную) точку прямой . Тогда вектор  лежит на данной прямой. Следовательно, векторы  и  будут перпендикулярны: , то есть их скалярное произведение равно нулю . Найдем скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами:  – (2). Если раскроем скобки, то получим общее уравнение прямой – (1). Точка  называется фиксированной.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку   с заданным угловым коэффициентом k:                                    

,                                              (3)

,  угол между осью Ох (положительным направлением) и прямой.

Нормальное уравнение прямой

у

х

р

α

β

(а)

О

М 0

δ

                                                                      .            (8)          

Если положение прямой относительно осей координат определять длиной р перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и углом α, образуемым этим перпендикуляром с положительным направлением оси (Ох).

Общее уравнение прямой может быть приведено к нормальному уравнению путем умножения на нормирующий множитель . Знак N выбирается противоположным к знаку С.

Расстояние от точки М ₀(х ₀, у ₀) до прямой

М 0

М 0

d

(9)

 

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно в нормальное уравнение прямой вместо текущих координат  подставить координаты точки  и взять абсолютную величину числа.

Пример 1. Дана прямая (а): .

1) Составить уравнение прямой (а ₁), проходящей через точку М ₀ (2, 1), параллельно данной прямой.

 2) Составить уравнение прямой (а ₂), проходящей через точку М ₀ (2, 1), перпендикулярно данной прямой.

Решение.

1) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие параллельности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а ₁): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид:

.

2 способ. Нормальный вектор . Прямые параллельны, следовательно, параллельны их нормальные вектора. То есть нормальный вектор прямой (а ₁): . Подставим в уравнение (2):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид: .

2) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие перпендикулярности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а ₂): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₁) имеет вид: .

2 способ. Нормальный вектор . Прямые перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор прямой (а) параллелен прямой (а ₂), то есть является направляющим вектором прямой (а ₂): . Подставим в уравнение (4):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а ₂) имеет вид: .

 

Пример 2. Найти расстояние от прямой (АВ), где А (7, 4), В (3, –3) до точки С (5, 9).

Решение. Найдем общее уравнение прямой. Для этого подставим исходные данные в формулу (4):  и получим . Отсюда общее уравнение (АВ): . По формуле (9)  найдем искомое расстояние: .

1.

Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Окружность радиуса R с центром в точке задается  уравнением

Окружность радиуса R с центром в точке  имеет уравнение            (1)

Любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к каноническому виду (1). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным x и у.

Пример. Постройте кривую .

Решение. Сгруппируем .

Выделим полные квадраты, получим:       .

Hb Рис.1                                              Отсюда

,

.

Тогда каноническое уравнение имеет вид: .  

Итак, центр окружности – точка М ₀(1,-3), радиус равен 2.

 

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и  той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами и равная 2 а.

 

 

                                                                            Рис.2                                                    

.

Координаты фокусов F ₁(-с,0), F ₂(с,0), тогда расстояние между фокусамиравно 2 с: | F ₁ F ₂|=2 c, .

В выбранной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение

                                                                                                                                (2),

Свойства эллипса. Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (2), то его осями симметрии служат оси Ox и Оу, начало координат – центр симметрии.

Построение эллипса. Строим две окружности с центром в точке О радиусами а и b   (a > b).                   

Строим луч, выходящий из начала координат до пересечения с обеими окружностями. Из точек пересечения опускаем пересекающиеся лучи, параллельные координатным осям. Точка пересечения данных лучей – это точка, принадлежащая эллипсу (рис.3).

 

                                                                    Рис.3

Определения. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии - центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины – большой полуосью эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его вершины имеют координаты      , большая полуось равна a, малая полуось равна b.

Величина  , где называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет  эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экcцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса . 

Прямые  и , между которыми вытянут эллипс, называются директрисами, уравнения которых .

Замечание 1. Уравнение (2) было получено в предположении, что  и  – различные точки, то есть c > 0. Тогда b < a. Но кривую, определяемую уравнением, можем рассмотреть и в случае , . Уравнение в этом случае после умножения на  примет вид . Это уравнение окружности радиуса  с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.

Замечание 2. Если , то фокусы лежат на оси Оу и имеют координаты F ₁(0,- с), F ₂(0, с), где . Эксцентриситет . Уравнения директрис

Замечание 3. Если центр эллипса лежит в точке , то каноническое уравнение эллипса примет вид: . Уравнения директрис , координаты фокусов F ₁(х ₀– с, у ₀), F ₂((х ₀+ с, у ₀).

Пример 1. Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение . Это каноническое уравнение эллипса, , . Из соотношения находим , фокусы F ₁(, 0), F ₂(, 0), эксцентриситет .

    Рис.4

Пример 2. Найдите фокусы и эксцентриситет эллипса .

Решение. Уравнение запишем в виде , где , , b > a. Отсюда . Фокусы имеют координаты F ₁(), F ₂(). Эксцентриситет равен . 

Гипербола.

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где – число, называется гиперболой. Однако это - частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁  и F ₂ той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами и равная 2 а.

Пусть расстояние между фокусами гиперболы равно 2 c, т.е. фокусы имеют координаты  и , , , ,

                                                                          Рис.5                                                                    

 

тогда каноническое уравнение  гиперболы имеет вид:         

                                                                                                                     (3),

 где  или .

Свойство. Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением (3), то ее осями симметрии служат координатные оси Ox и Оу, а начало координат - центр симметрии гиперболы (рис.5).

Определения. Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (3), с осью Ox называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0, - b) и (0, b) называется мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром.

Величина   называется эксцентриситетом гиперболы. Величина с > a, то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе  к 1, тем меньше этот угол.

Прямые , к которым график гиперболы приближается, но не пересекает, называются асимптотами гиперболы. Уравнения директрис  (рис.5).

Построение гиперболы. Чертим основной прямоугольник, т.е. прямоугольник с центром в начале координат со сторонами 2 a и 2 b, диагоналями которого будут асимптотами гиперболы (см. рис. выше в определении).

Замечание 1. В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами a и b может быть произвольным. В частности, при  мы получим равностороннюю гиперболу (рис.6).

Замечание 2. Если каноническое уравнение гиперболы имеет вид

                                                                            (3*),

 

         Рис.6

то ее фокусы располагаются на оси Оу, их координаты F ₁(0,- с), F ₂(0, с), числа a и b называются соответственно мнимой и действительной полуосями гиперболы; уравнения асимптот , уравнения директрис . (См. рис.8)

Замечание 3. Если центр гиперболы смещен и лежит в точке  то каноническое уравнение гиперболы примет вид: (или ). Тогда координаты фокусов F ₁(х ₀- с, у ₀), F ₂(х ₀+ с, у ₀), уравнения асимптот , уравнения директрис .

Пример 1. Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение , , . Проводим асимптоты и строим гиперболу. Из формулы получим . Тогда фокусы , эксцентриситет   (рис.7).  

                                                                                                                                          Рис.7

  Пример 2. Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

  Решение. Преобразуем уравнение к виду . Фокусы гиперболы лежат на оси (Оу), действительная полуось ,  мнимая .                              

Асимптоты имеют уравнение . Из формулы получим , эксцентриситет , координаты фокусов  (рис.8)

Рис.8

Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки F этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Пусть расстояние между фокусом  и директрисой параболы l, уравнение которой , равно p (. Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: 

Рис.9

                                                                            .                                                (4)

 

Замечание. Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox. Асимптот парабола не имеет.

Определение. Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

П. 4. Уравнение плоскости

 

α

М

М0

Общее уравнение плоскости α:     (1)    

Координаты нормального вектора: , .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору :      

                                                 (2).

z

Вывод: Рассмотрим текущую точку плоскости  и рассмотрим вектор , который будет лежать в плоскости α. Нормальный вектор  перпендикулярен плоскости α, следовательно, векторы  и  перпендикулярны. Условие перпендикулярности векторов – равенство нулю их скалярного произведения: =0, то есть

c

.

b

a

y

Замечание. Раскрыв скобки в уравнении (2), получим уравнение (1).

x

Уравнение плоскости в отрезках             ,                             (3)

где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях с точностью до знака.

П. 5. Прямая в пространстве

Рассмотрим в пространстве R ³ прямую (а), проходящую через данную точку , параллельно заданному вектору . Вектор – направляющий вектор прямой.       

М

М 0

а

 

Вывод уравнения (а): Рассмотрим текущую точку прямой  и рассмотрим вектор , который будет лежать на прямой (а). Направляющий вектор прямой  параллелен прямой (а), следовательно, векторы  и  параллельны или коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их координат:

                                     – канонические уравнения прямой.      (1)

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и

                                                                                                            (2)

Вывод: Рассмотрим текущую точку прямой  и рассмотрим векторы  и , которые будут параллельны. Условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их координат.

 

Приравняем уравнение (2) к параметру t: , отсюда

или  – параметрические уравнения прямой (3)

 

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей:

                           – общие уравнения прямой                          (4).

Направляющий вектор данной прямой a находится как , координаты точки             M ₀(x ₀, y ₀ z ₀), лежащей на прямой, удовлетворяют системе уравнений (4).

a

                                                                                

Примеры.

 

α

М 0

Задача 1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку М₀ (0, 0, 1/2).

α

Решение.

Нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору

прямой . Следовательно, координаты направляющего

вектора прямой пропорциональны (совпадают) с координатами нормального вектора.

Подставим данные в каноническое уравнение: Ответ:

Задача 2. Найти точку пересечения прямой    и плоскости .

Решение.

Координаты точки пересечения М – это решение системы .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

α

М

, отсюда .                                         

Найдем решение системы:

,

отсюда х = 1+1=2, у = -2 - 1= -3, z = 6 – координаты точки пересечения. Ответ: .

Задача 3. Найти угол  между прямой в:  и плоскостью : .

Решение.

, . Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

 

.

Задача 4. Написать уравнение проекции прямой l:  на плоскость : .

Решение.

α

, .

α 1

А

Чтобы найти проекцию d прямой l на плоскость ,

l

надо построить плоскость, проходящую через прямую l

А

перпендикулярно плоскости .

α

d

Пересечение полученной плоскости с плоскостью  -

прямая d - и будет искомой проекцией. 

Уравнение плоскости , походящей через прямую l перпендикулярно плоскости можно найти либо 1 методом, либо 2-ым. Это уравнение имеет вид: . Нормальный вектор .

Тогда общее уравнение искомой прямой d имеет вид: . 

Запишем это уравнение в каноническом виде. Для этого необходимо найти точку А, лежащую на прямой, и направляющий вектор .

Найдем координаты точки А: пусть z = 0, тогда , методом Гаусса получим, что

х = 0, у =-1. Координаты точки А (0, -1, 0).

Направляющий вектор  найдем по формуле:

Уравнение прямой d – уравнение искомой проекции имеет вид: .

Вывод.

Определение. Сфера – геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) – центра есть величина постоянная и равная R.

Рассмотрим текущую точку сферы М (х, у, z). Тогда . Отсюда  – каноническое уравнение сферы с центром в точке       М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) и радиусом R.

Цилиндрические поверхности