П. 6. Кривые второго порядка.

 

Определение. Уравнение вида , где А, В, С одновременно не равны нулю, называется общим уравнением кривой второго порядка.

Канонические уравнения основных кривых второго порядка.

1.     – уравнение эллипса

    – уравнение окружности

2. ,    – уравнения гиперболы

3. , , ,    – уравнения параболы (р > 0)

1.

Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Окружность радиуса R с центром в точке задается  уравнением

Окружность радиуса R с центром в точке  имеет уравнение            (1)

Любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к каноническому виду (1). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным x и у.

Пример. Постройте кривую .

Решение. Сгруппируем .

Выделим полные квадраты, получим:       .

Hb Рис.1                                              Отсюда

,

.

Тогда каноническое уравнение имеет вид: .  

Итак, центр окружности – точка М ₀(1,-3), радиус равен 2.

 

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и  той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами и равная 2 а.

 

 

                                                                            Рис.2                                                    

.

Координаты фокусов F ₁(-с,0), F ₂(с,0), тогда расстояние между фокусамиравно 2 с: | F ₁ F ₂|=2 c, .

В выбранной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение

                                                                                                                                (2),

Свойства эллипса. Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (2), то его осями симметрии служат оси Ox и Оу, начало координат – центр симметрии.

Построение эллипса. Строим две окружности с центром в точке О радиусами а и b   (a > b).                   

Строим луч, выходящий из начала координат до пересечения с обеими окружностями. Из точек пересечения опускаем пересекающиеся лучи, параллельные координатным осям. Точка пересечения данных лучей – это точка, принадлежащая эллипсу (рис.3).

 

                                                                    Рис.3

Определения. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии - центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины – большой полуосью эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его вершины имеют координаты      , большая полуось равна a, малая полуось равна b.

Величина  , где называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет  эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экcцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса . 

Прямые  и , между которыми вытянут эллипс, называются директрисами, уравнения которых .

Замечание 1. Уравнение (2) было получено в предположении, что  и  – различные точки, то есть c > 0. Тогда b < a. Но кривую, определяемую уравнением, можем рассмотреть и в случае , . Уравнение в этом случае после умножения на  примет вид . Это уравнение окружности радиуса  с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.

Замечание 2. Если , то фокусы лежат на оси Оу и имеют координаты F ₁(0,- с), F ₂(0, с), где . Эксцентриситет . Уравнения директрис

Замечание 3. Если центр эллипса лежит в точке , то каноническое уравнение эллипса примет вид: . Уравнения директрис , координаты фокусов F ₁(х ₀– с, у ₀), F ₂((х ₀+ с, у ₀).

Пример 1. Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение . Это каноническое уравнение эллипса, , . Из соотношения находим , фокусы F ₁(, 0), F ₂(, 0), эксцентриситет .

    Рис.4

Пример 2. Найдите фокусы и эксцентриситет эллипса .

Решение. Уравнение запишем в виде , где , , b > a. Отсюда . Фокусы имеют координаты F ₁(), F ₂(). Эксцентриситет равен . 

Гипербола.

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где – число, называется гиперболой. Однако это - частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁  и F ₂ той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами и равная 2 а.

Пусть расстояние между фокусами гиперболы равно 2 c, т.е. фокусы имеют координаты  и , , , ,

                                                                          Рис.5                                                                    

 

тогда каноническое уравнение  гиперболы имеет вид:         

                                                                                                                     (3),

 где  или .

Свойство. Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением (3), то ее осями симметрии служат координатные оси Ox и Оу, а начало координат - центр симметрии гиперболы (рис.5).

Определения. Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (3), с осью Ox называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0, - b) и (0, b) называется мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром.

Величина   называется эксцентриситетом гиперболы. Величина с > a, то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе  к 1, тем меньше этот угол.

Прямые , к которым график гиперболы приближается, но не пересекает, называются асимптотами гиперболы. Уравнения директрис  (рис.5).

Построение гиперболы. Чертим основной прямоугольник, т.е. прямоугольник с центром в начале координат со сторонами 2 a и 2 b, диагоналями которого будут асимптотами гиперболы (см. рис. выше в определении).

Замечание 1. В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами a и b может быть произвольным. В частности, при  мы получим равностороннюю гиперболу (рис.6).

Замечание 2. Если каноническое уравнение гиперболы имеет вид

                                                                            (3*),

 

         Рис.6

то ее фокусы располагаются на оси Оу, их координаты F ₁(0,- с), F ₂(0, с), числа a и b называются соответственно мнимой и действительной полуосями гиперболы; уравнения асимптот , уравнения директрис . (См. рис.8)

Замечание 3. Если центр гиперболы смещен и лежит в точке  то каноническое уравнение гиперболы примет вид: (или ). Тогда координаты фокусов F ₁(х ₀- с, у ₀), F ₂(х ₀+ с, у ₀), уравнения асимптот , уравнения директрис .

Пример 1. Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение , , . Проводим асимптоты и строим гиперболу. Из формулы получим . Тогда фокусы , эксцентриситет   (рис.7).  

                                                                                                                                          Рис.7

  Пример 2. Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

  Решение. Преобразуем уравнение к виду . Фокусы гиперболы лежат на оси (Оу), действительная полуось ,  мнимая .                              

Асимптоты имеют уравнение . Из формулы получим , эксцентриситет , координаты фокусов  (рис.8)

Рис.8

Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки F этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Пусть расстояние между фокусом  и директрисой параболы l, уравнение которой , равно p (. Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: 

Рис.9

                                                                            .                                                (4)

 

Замечание. Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox. Асимптот парабола не имеет.

Определение. Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.