Расчет центрально сжатых деревянных элементов

Постоянного цельного сечения

Центрально сжатыми считаются: деревянные стойки, подкосы, верхние пояса и элементы решетки деревянных и деревометаллических ферм, пояса арок.

Центрально сжатые элементы рассчитывают по прочности, устойчивости и проверяют их гибкость, чтобы она не оказалась больше предельных величин.

Расчет прочности элементов цельного сплошного сечения следует выполнять при наличии в центрально сжатых элементах ослаблений (пазов, отверстий, подрезок). Прочность рассчитывают по формуле

                                          σ = N / F _нт ≤ R _с;                                                (4.4)

Расчет устойчивости часто оказывается основным и поэтому его выполняют для всех центрально сжатых элементов, по формуле

                                           σ = N /φ F _расч ≤ R _с,                                           (4.5)

где σ – нормальные напряжения, возникающие в сечении элемента;

N – расчетная продольная сила;

R _с – расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон;

φ – коэффициент продольного изгиба;

F _расч – расчетная площадь поперечного сечения элемента, принимаемая равной:

- для элементов без ослаблений F _расч = F _бр, где F _бр – площадь сечения брутто (без учета ослаблений);

- для элементов имеющих симметричные ослабления выходящие на наружные кромки F _расч = F _нт, где F _нт – площадь поперечного сечения элемента нетто;

- для элементов имеющих симметричные ослабления не выходящие на кромки:

а) если площадь ослабления не превышает 25% площади брутто F _расч = F _бр;

б) если площадь ослабления превышает 25% площади брутто F _расч = 4/3 F _нт.

Коэффициенты продольного изгиба φ определяются в зависимости от гибкости элемента λ (формула 2.10):

- при гибкости λ ≤ 70

                                            φ = 1 – а(λ/100)²;                                         (4.6)

- при гибкости λ > 70

                                          φ = А/λ²,                                                        (4.7)

где коэффициент (а = 0,8) для древесины и (а = 1) для фанеры; коэффициент (А = 3000) для древесины и (А = 2500) для фанеры.

Предельные гибкости центрально сжатых элементов приведены в табл. 4.3 Приложения 4.

 

 

Примеры расчета к параграфу 4.3

Пример 4.4. Проверить прочность стойки стропильной конструкции (рис. 4.3), в случае необходимости изменить сечение стойки.

                    

Рис.4.3. Стойка, поддерживающая прогон. К примеру 4.4:

а – сопряжение конструктивных элементов: 1 – лежень; 2 – стойка; 3 – прогон; 4-подкосы;

б – расчётная схема стойки; в – узел выполнения подрезки в стойке.

 

Стойка выполнена из бруса сечением b × h = 100×150 мм, древесина сосна, сорт 2. На стойку действует продольная сжимающая сила N = 40 кН, γ _n = 1,0. Длина стойки l = 3,0 м. Закрепление концов стойки шарнирное. Условие эксплуатации конструкции Б2 – внутри неотапливаемых помещений (на чердаке) в нормальной влажностной зоне.

Решение.

1. Устанавливаем расчетное сопротивление сжатию древесины вдоль волокон R _с = 13 МПа = 1,3 кН/см² (п. 1, а табл. 4.1 Приложение 4).

Коэффициент для условий эксплуатации Б2, m _в = 1,0 (п. 3.2,а СНиП II-25-80).

2. Элемент имеет симметричные ослабления выходящие на кромки. Определяем площадь ослабления F _осл = 2·4·10 = 80 см². Площадь брутто F _бр = 10·15 = 150 см². Расчетная площадь F _расч = F _нт = F _бр – F _осл = 10·15 – 2·4·10 = 70 см².

3. Определяем радиусы инерции сечения:

i_x = 0,29 b = 0,29·10 = 2,9 см; i_y  = 0,29 h = 0,29·15 = 4,35 см.

4. Расчетная длина стойки (формула 2.8) l ₀ = μ l = 1,0·300 = 300 см (табл. 2.4 Приложение 2).

5. Наибольшая гибкость элемента по формуле (2.10)

λ _x = l ₀/ i_x = 300/2,9 = 103 < λ_max = 150 (табл. 4.3 Приложение 4); гибкость λ _x > 70, следовательно, коэффициент продольного изгиба определяется по формуле (4.7) φ = А/λ _x ² = 3000/103² = 0,283.

6. Проверяем прочность по формуле (4.4)

σ = N γ _n / F _нт = 40·1,0/70 = 0,57 кН/см² < R _с = 1,3 кН/см², прочность обеспечена.

7. Проверяем устойчивость по формуле (4.5)

σ = N γ _n /(φ F _расч) = 40·1,0/(0,283·70) = 2,02 кН/см² < R _с = 1,3 кН/см², устойчивость не обеспечена, следует увеличить площадь сечения стойки. Принимаем сечение b × h = 150×150 мм и проверяем сечение на устойчивость.

8. Расчетное сопротивление изменилось, так как увеличилась площадь сечения бруса R _с = 1,5 кН/см²; радиусы инерции i_x = i _у = 0,29 b = 0,29·15 = 4,35 см; гибкость λ _x = l ₀/ i_x = 300/4,35 = 69 < 70; Коэффициент продольного изгиба определяем по формуле (4.6) φ = 1– а(λ/100)² = 1 – 0,8(69/100)² = 0,62; расчетная площадь F _расч = F _нт = F _бр– F _осл = 15·15 – 2·4·15 = 105 см²; проверяем устойчивость σ = N γ _n /(φ F _расч) = 40·1,0/(0,62·105) = 0,614 кН/см² < R _с = 1,5 кН/см², устойчивость обеспечена. Принимаем стойку из бруса 150×150 мм.

Пример 4.5. Подобрать сечение стойки из березового бруса, сорт 2. Длина стойки l = 4000 мм. Закрепление концов стойки шарнирное. На стойку действует продольная сжимающая сила N = 25 кН, γ _n = 1,1. Стойка нижним концом соприкасается с грунтом – условие эксплуатации Г1, m _в = 0,85 (п. 3.2, а СНиП II-25-80).

Решение.

1. Определяем расчетное сопротивление березы, для этого устанавливаем расчетное сопротивление древесины сосны сжатию вдоль волокон (п. 1 а табл. 4.1 Приложения 4) R _с^с = 13 МПа = 1,3 кН/см²; значение переходного коэффициента для березы, сжатию вдоль волокон m _п = 1,1 (табл. 4.2 Приложения 4); расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон березы R _с^б = R _с^с m _п = 13·1,1 = 14,3 МПа = 1,43 кН/см². Расчетное сопротивление следует умножать на коэффициент m _в = 0,85, учитывающий условия эксплуатации.

2. Определяем расчетную длину стойки l ₀ = μ l = 1,0·400 = 400 см. Задаемся гибкостью λ = 100. Значение коэффициента продольного изгиба (4.7) 

 φ = А/λ² = 3000/100² = 0,3.

3. Из формулы (4.5) определяем площадь

F _бр = F _расч = N γ _n /(φ R _с^б m _в) = 25·1,1/(0,3·1,43·0,85) = 75,4 см²; по площади, с учетом сортамента (табл. 4.4 Приложение 4) назначаем сечение бруса. Принимаем сечение стойки, по требуемой площади и радиусу инерции, который должен быть близким к требуемому, брус b × h = 130×130 мм.

4. Проверяем принятое сечение стойки: фактический радиус инерции i_x = 0,29 b = 0,29·13 = 3,77 см; гибкость λ _x = l ₀/ i_x = 400/3,77 = 106 < λ_max = 150 (табл. 4.3 Приложение 4); так как гибкость λ _x > 70, значение коэффициента продольного изгиба определяем по формуле (4.7) φ = А/λ _x ² = 3000/106² = 0,267; проверяем устойчивость σ = N γ _n /(φ F _расч)= 25·1,1/(0,267·169) = 0,61 кН/см² ≤ R _с m _в = 1,43·0,85 = 1,22 кН/см².

Устойчивость обеспечена; гибкость в пределах требований норм. Принимаем стойку из березового бруса сечением 130×130 мм, сорт 2.

 

Задачи для самостоятельной работы к параграфу 4.3

Задача 4.8. Проверить прочность и устойчивость центрально сжатой стойки из древесины сосны, сорт 2. Закрепление концов стойки шарнирное, длина стойки l = 2,5 м. На стойку действует продольная сжимающая сила N = 140 кН, γ _n = 1,0. Условия эксплуатации В1 – на открытом воздухе, m _в = 0,9 (п. 3.2, а СНиП II-25-80). Сечение стойки b × h = 130×150 мм.

Задача 4.9. Проверить прочность и устойчивость центрально сжатой стойки из древесины сосны, сорт 3. Закрепление концов стойки шарнирное, длина стойки l = 3,5 м. На стойку действует продольная сжимающая сила N = 200 кН, γ _n = 1,1. Условия эксплуатации А2 – внутри отапливаемого помещения в нормальной влажностной зоне, m _в = 1,0 (п. 3.2, а СНиП II-25-80). Стойка выполнена из бревна постоянного сечения D = 200 мм.

Задача 4.10. Подобрать сечение стойки из соснового бруса, сорт 1. Длина стойки l = 2800 мм. Закрепление концов стойки шарнирное. На стойку действует продольная сжимающая сила N = 85 кН, γ _n = 0,95. Условия эксплуатации Б2, m _в = 1,0.

 

Расчет изгибаемых элементов

К изгибаемым элементам относят: балки, прогоны, настилы, обрешетки и др.

Расчет изгибаемых элементов производят по первой группе предельных состояний: на прочность по нормальным напряжениям по формуле

                                                                       (4.8)

где М – расчетный изгибающий момент;

R _и– расчетное сопротивление изгибу;   

W _расч – расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента. Для цельных элементов W _расч = W _нт. При определении W _нт, ослабления расположенные на участке элемента длиной до 200 мм, принимают совмещенными в одном сечении;

на прочность на скалывание (касательные напряжения) по формуле

                                                                       (4.9)

где Q – расчетная поперечная сила;

S _бр – статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

I _бр – момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

b _расч – расчетная ширина элемента;

R _ск – расчетное сопротивление скалыванию при изгибе.

Кроме расчетов по первой группе предельных состояний необходимо выполнить расчет по второй группе предельных состояний – проверять жесткость элемента. Вертикальные прогибы f_u ограничиваются, см. п. 10.7 СНиП 2.01.07-85*.

Расчет прогибов. Для балки на двух опорах, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, относительный прогиб определяют по формуле  

                                                                    (2.17)

Нагрузка при расчетах прогибов принимается нормативной; модуль упругости древесины вдоль волокон Е = 10 000 МПа = 1000 кН/см²; расчетная длина l ₀ = l_ef, определяется также, как и для металлических либо железобетонных балок (см. подпункт 2.5).

 

Примеры расчета к параграфу 4.4

Пример 4.6. Подобрать сечение деревянной балки перекрытия жилого дома. Балка выполнена из сосны, сорт 1. Условие эксплуатации А2 (m _в = 1,0).

Рис.4.4. Конструкция перекрытия. К примеру 4.6:

1 –доски пола; 2 – лаги; 3 – балка перекрытия; 4 – известково-песчаная корка;

5 – звукоизоляционные плиты; 6 – рубероид: 7 – щит наката; 8 – гипсокартон

 

 

 Состав перекрытия (см. рис. 4.4): 1. Доски t = 25 мм, ρ = 500 кг/м³; 2. Лаги b × h = 50×50 мм, уложенные через 400 мм, ρ = 500 кг/м³; 3. Балки перекрытия,уложены на стены с шагом а = 2,0 м, ρ = 500 кг/м³; 4. Защитная известково-песчаная корка: t = 20 мм, ρ = 1600 кг/м³; 5. Звукоизоляционные плиты: t = 70 мм, ρ = 200 кг/м³; 6. Слой рубероида; 7. Щит наката, состоящий из сплошного дощатого настила (t = 19 мм, ρ = 500 кг/м³), с прибитыми к нему снизу тремя брусками b × h = 40×40 мм, через 450 мм, ρ = 500 кг/м³; 8. Гипсокартон: t = 15 мм, ρ = 1500 кг/м³.

Рис.4.5. расстановка балок перекрытия. К примеру 4.6:

а – шаг балок; l _гр – длина грузовой площади

 

Коэффициент γ _n = 0,95.Балки перекрытия пролетом l = 4500 мм, длина площадок опирания балок на стены l _оп = 150 мм; шаг балок а = 2,0 м (рис. 4.5). Вертикальные предельные прогибы балки f_u = l ₀/150 = 435/150 = 2,9 см  (табл. 19 СНиП2.01.07-85*).

 

Решение.

1. Собираем нагрузки на один квадратный метр перекрытия в табличной форме (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Нагрузки на 1м² перекрытия

№ п.п.	Наименование нагрузок	Подсчет	Нормативная нагрузка	γ f	Расчетная нагрузка
I. Постоянные нагрузки:
1.	Доски пола	0,025· 5	0,125	1,2	0,15
2.	Лаги	0,05·0,05·5/0,4	0,03	1,1	0,033
3.	Балка перекрытия (размеры ориентировочно)	0,15 · 0,15·5/2	0,056	1,1	0,062
4.	Известковая корка	0,02 · 16	0,32	1,3	0,416
4.	Звукоизоляция	0,07·2	0,14	1,2	0,168
6.	Рубероид	-	0,03	1,2	0,036
7.	Щит наката	(0,019·5+ 0,04·0,04·5)/0,45	0,113	1,1	0,124
8.	Гипсокартон	0,015·15	0,225	1,2	0,27
	Итого:		gn = 1,039 кПа		g = 1,254 кПа
II. Временные нагрузки:
1.	Нагрузки на перекрытие (табл. 1.2 Приложение 1)	-	1,5	1,3	1,95
2.	Нагрузки от перегородок	-	0,5	1,1	0,55
	Всего:		qn ^перекр= 3,04 кПа		q ^перекр = 3,75 кПа

 

2. Собираем нагрузку на погонный метр балки с грузовой площади, длина грузовой площади равна шагу балок l _гр = 2,0 м:

q_n = q_n ^перекр l _гр = 3,04·2,0 = 6,08 кН/м; q = q ^перекр l _гр = 3,75 ·2,0 = 7,5 кН/м.

3. Определяем расчетную длину балки и расчетную схему (рис. 4.6). Расчетная длина l ₀ = l – 2(l _оп/2) = 4500 – 2(150/2) = 4350 мм = 4,35 м.

Рис.4.6. Расчётная схема балки и эпюры моментов и поперечных сил. К примеру 4.6

 

Усилия в балке:

М _max = (q γ _n) l ₀²/8 = 7,5·0,95·4,35²/8 = 16,85 кН м = 1685 кН см;

Q _max= (q γ _n) l ₀/2 = 7,5·0,95·4,35/2 = 15,5 кН.

4. Определяем расчетное сопротивление древесины изгибу вдоль волокон (п. 1, в табл. 4.1 Приложение 4) R _и = 16 МПа = 1,6 кН/см².

5. Из формулы (4.8) определяем требуемое значение момента сопротивления изгибу балки

6. Приравниваем буквенное выражение момента сопротивления его значению , и задаваясь шириной балки, определяем ее высоту.

Принимаем b = 15 см, тогда , принимаем сечение балки в соответствии с сортаментом древесины (табл. 4.4 Приложение 4) b × h = 150×225 мм.

7. Проверяем прочность на скалывание, формула (4.9). Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон при изгибе R _ск = 1,8 МПа = 0,18 кН/см²; статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси S _бр = S_х = bh /2· h /4 = 15·22,5²/8 = 949,2 см³; момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси I _бр = I_х = bh ³/12 = 15·22,5³/12 = 14238,3 см⁴;

Прочность на скалывание обеспечена.

8. Проверяем прогибы балки по формуле (2.7): нагрузка, приходящаяся на один сантиметр длинны q_n = 0,0608 кН/см,

Жесткость балки достаточна.

9. Проектируем балку (рис. 4.7);

   

Сборочную спецификацию см. табл. 4.2.

Таблица 4.2