Расчет прочности наклонных сечений изгибаемых элементов

Изгибаемые железобетонные элементы: балки, плиты и другие, могут разрушаться не только по нормальным сечениям, но и по наклонным сечениям. Наклонные сечения при расчете проводят в местах возможного образования наклонных трещин (рис. 3.31).

 

Рис.3.31. Наклонные трещины, возникающие в элементе

 

Если прочность нормальных сечений обеспечивается постановкой продольной рабочей арматуры (см. подразделы 3.4.1, 3.4.2), то прочность наклонных сечений обеспечивается постановкой в арматурных каркасах поперечных стержней по длине изгибаемых элементов.

Разрушение по наклонным сечениям в основном происходит около опор, от воздействия на элементы поперечных сил.

Расчет прочности наклонных сечений производят:

а) по прочности наклонной полосы находящейся между двумя наклонными трещинами;

б) расчет прочности наклонных сечений на действие поперечной силы;

в) расчет прочности наклонных сечений на действие изгибающих моментов (в настоящем пособии не рассматривается).

а) Расчет прочности по полосе между наклонными сечениями.

Расчет производят из условия

                        Q ≤ φ _{b 1} R_b b h ₀,                                         (3.11)

где Q – поперечная сила в нормальном сечении элемента; φ _{b 1} – коэффициент, принимаемый равным 0,3; R_b – призменная прочность бетона; b – ширина балки; h ₀ – рабочая высота балки.

    б) Расчет прочности наклонного сечения на действие поперечной силы.

Поперечная сила стремится перерезать сечение элемента (рис 3.32).

 

Рис.3.32. Армирование наклонного сечения – поперечные стержни препятствуют раскрытию наклонных трещин

 

Поперечной силе противодействуют бетон сечения и поперечная арматура, пересекающая наклонное сечение. Чем чаще установлены поперечные стержни, тем большее их число пересекает наклонное сечение, и тем прочнее оно будет. Прочность можно также увеличить, увеличивая диаметры или прочность поперечных стержней. Сложность расчета состоит в том, что заранее трудно определить сечение, по которому может пройти наклонная трещина.

Рис.3.33. Схема усилий в сечении, наклонном к продольной оси ж/б элемента,

При расчёте его прочности на действие поперечных сил

 

Схема усилий возникающих в наклонном сечении приведена на рис. 3.33. На схеме приняты следующие обозначения:

А – опорная реакция от равномерно распределенной нагрузки q;

Q – поперечная сила в наклонном сечении с длиной проекции (с)на продольную ось элемента, определяемая от всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения;

Q_b – поперечная сила, воспринимаемая бетоном в наклонном сечении;

Q_sw – поперечная сила воспринимаемая поперечной арматурой в наклонном сечении;

R_sw – расчетное сопротивление растяжению поперечной арматуры (табл. 3.3 Приложение 3); 

A_sw – площадь сечения поперечных стержней находящихся в поперечном сечении элемента;

с – длина проекции наиболее опасного наклонного сечения на продольную ось; h ₀  – рабочая высота сечения элемента;

s_w – шаг поперечных стержней каркаса.

Расчет изгибаемых элементов по наклонному сечению производят из условия

          Q ≤ Q_b + Q_sw ,                                                                                 (3.12)

где Q_b – поперечная сила, воспринимаемая бетоном в наклонном сечении                          

                                                                                                    (3.13)                                                    

но принимается не более 2,5 R_btbh ₀ и не менее 0,5 R_btbh ₀;φ _{b 2} – коэффициент, равный 1,5; с – проекция наклонного сечения: с ≤ 3,0 h ₀.

Q_sw – поперечная сила воспринимаемая поперечной арматурой в наклонном сечении

  Q_sw = φ _sw q_sw с,                                                                             (3.14)

где φ _sw – коэффициент, равный 0,75; здесь с ≤ 2,0 h ₀.

q_sw – усилие в поперечной арматуре на единицу длины элемента определяют по формуле

                                                                                  (3.15)                                                                                                                                                      

Расчет производят для ряда расположенных по длине элемента наклонных сечений. В случае действия вблизи опоры сосредоточенной силы необходимо проверить прочность сечения проведенного от опоры к точке приложения силы.

Учитывая, что временная равномерно распределенная нагрузка q_v, практически всегда больше ее фактических значений, нагрузку в расчете (п. 3.32 Пособия по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры) принимают

                  q ₁ = q – 0,5 q_v,                                                                      (3.16)

где q – вся равномерно распределенная нагрузка.

Иногда для обеспечения прочности наклонного сечения достаточно прочности одного бетона и тогда поперечная арматура ставится конструктивно (без расчета) в соответствии с требованиями п.п. 8.3.9 – 8.3.11 СП 52-101-2003.

Требования к постановке поперечных стержней:

· В железобетонных элементах, в которых поперечная сила по расчету не может быть воспринята только бетоном, (не выполняется условие    Q ≤ Q_b) следует предусматривать установку поперечной арматуры с шагом s_w не более 0,5 h ₀ и не более 300 мм.

· В балках и ребрах высотой 150 мм и более, а также в часторебристых плитах высотой 300 мм и более, на участках элемента, где поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном (выполняется условие Q ≤ Q_b), следует предусматривать установку поперечной арматуры с шагом s_w не более 0,75 h ₀ и не более 500 мм.

· В сплошных плитах, а также в часторебристых плитах (многопустотных) высотой менее 300 мм и в балках (ребрах) высотой менее 150 мм на участке элемента, где поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном, поперечную арматуру можно не устанавливать.

Допускается расчет прочности наклонных сечений производить упрощено по условию (3.17), рассматривая вместо наклонных сечений прочность ряда нормальных сечений.

                         Q ₁ ≤ Q_{b 1} + Q _{sw ,1},                                                        (3.17)

где Q ₁ – поперечная сила в нормальном сечении от внешней нагрузки;

Q_{b 1} – поперечная сила воспринимаемая бетоном

                        Q_{b 1} = 0,5 R_bt bh ₀;                                                         (3.18)

Q_{sw ,1} – поперечная сила воспринимаемая поперечными стержнями

                         Q_{sw ,1} = q_swh ₀.                                                             (3.19)

При расположении нормального сечения, в котором учитывают поперечную силу Q ₁, на расстоянии а от опоры менее 2,5 h ₀, значение Q_{b 1} определенное по формуле (3.18) умножают на коэффициент, равный

но принимают значение Q_{b 1} не более 2,5 R_bt bh ₀ (см. рис. 3.34, а).

 

        

 

 

Рис.3.34. Графики изменения поперечных сил, воспринимаемых бетоном и

поперечной арматурой на участках, расположенных вблизи опор:

а – изменение Q_b1; б – изменение Q_sw1

 

При расположении нормального сечения, в котором учитывают поперечную силу Q ₁, вблизи опоры на расстоянии а, менее h ₀, значение Q_{sw ,1} определенное по формуле (3.19), умножают на коэффициент, равный а / h ₀ (см. рис. 3.34, б). 

Работу поперечной арматуры учитывают в расчете (в формулах 3.12, 3.17), если соблюдаются условия (3.20), (3.21)

                         q_sw ≥ 0,25 R_bt b.                                                     (3.20)

Отношение шага поперечной арматуры учитываемой в расчете, к рабочей высоте сечения элемента s_w / h ₀, должно быть не больше значения

                        s_{w ,max}/ h ₀ = R_bt bh ₀ / Q.                                        (3.21)

При отсутствии поперечной арматуры или при нарушении указанных выше требований, расчет производят, принимая усилия Q_sw или Q_{sw ,1} равными нулю.

Примеры расчета к параграфу 3.4.3

Пример 3.14. Используя данные примера 3.7 рассчитать прочность наклонных сечений балки. В примере 3.7 принято армирование нормального сечения балки. В сечение попадают три поперечных стержня (ø 6 мм, А400), площадью А_sw = 0,86 см². Класс прочности бетона В20. Поперечная сила на опоре          Q = 98,4 кН. Временная нагрузка на балку, с учетом коэффициента надежности по нагрузкам q_v = 10,7 кН/м.

Решение.

1. Определяем расчетные сопротивления: призменная прочность R_b  = 14,5 МПа = 1,45 кН/см²; расчетное сопротивление бетона растяжению R_bt  = 0,9 МПа = 0,09 кН/см²; расчетное сопротивление поперечной арматуры R_sw = 285 МПа = 28,5 кН/см² (табл. 3.2, 3.3 Приложение 3).

2. Выполняем расчет прочности по полосе между наклонными сечениями, формула (3.11)

Q = 98,4 кН < φ _{b 1} R_b b h ₀ = 0,3·1,45·20·46 = 400,2 кН, прочность обеспечена.

Проводим расчет прочности по наклонным сечениям.

3. Принимаем шаг поперечных стержней (см. требования к постановке поперечных стержней) s_w = 0,5 h ₀ = 0,5·46 = 23 см, принимаем шаг(кратно 50 мм) s_w = 20 см.

4. Определяем погонную поперечную силу воспринимаемую поперечными стержнями (3.15)

5. Проверяем условие (3.20) . Условия (3.20, 3.21) выполняются, следовательно, поперечные стержни учитываем в расчете.

6. Определяем значение М_b (числитель из формулы 3.13),

М_b = 1,5 R_bt b h ₀² = 1,5·0,09·20·46² = 5713,2 кН см.

7. Равномерно распределенную нагрузку принимают по формуле (3.16)

q ₁ = q – 0,5 q_v = 35,73 – 0,5·10,7 = 30,38 кН/м = 0,304 кН/см.

8. Определяем длину самой опасной проекции наклонного сечения на горизонтальную ось, учитывая требования п. 3.32 Пособия по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры, из формулы (3.13)

принимают не более 3 h ₀ = 3·46 = 138 см,

так как

длину опасной проекции следует принимать по формуле

Принимаем меньшую длину проекции, равную с = 68,3 см.

8. Определяем поперечную силу воспринимаемую поперечными стержнями (3.14), принимаем с ₀ = с = 68,3 см, так как это значение меньше

2 h ₀ = 2·46 = 92 см (в расчет берется меньшее значение)

Q_sw = 0,75 q_swс ₀ = 0,75·1,23·68,3 = 63 кН.

9. Определяем поперечную силу воспринимаемую бетоном по (3.13)

Q_b = М_b / с = 5713,2/68,3 = 83,6 кН, что не превышает

Q_{b ,max} = 2,5 R_btbh ₀ = 2,5·0,09·20·46 = 207 кН.

10. Проверяем прочность наклонных сечений, условие (3.12)

Q = 98,4 ≤ Q_b + Q_sw = 83,6 + 63 = 146,6 кН. Прочность наклонных сечений обеспечена.

11. Определяем расстояние а, где бетон балки, без участия поперечной арматуры, сможет воспринять всю поперечную силу действующую в этом сечении. Приравниваем Q = Q_b и получаем Q = Q _max – q ₁ а = Q_b; отсюда     

  а = (Q _max– Q_b)/ q ₁ = (98,4 – 83,6)/0,304 = 48,7 см; следовательно, начиная с этого расстояния отмеряемого от края опоры, можно увеличивать шаг расстановки поперечных стержней каркаса. Принимаем в соответствии с требованием норм шаг в середине каркаса балки s_w не более 0,75 h ₀ и не более 500 мм. s_w = 0,75 h ₀ = 0,75·46 = 34,5 см, принимаем (кратно 50 мм) шаг s_w = 300 мм. Добавляем длину площадки опирания к определенному расстоянию а, и шаг поперечных стержней изменяем на расстоянии 48,7 + 20 = 68,7 ≈ 70 см от правого и левого краев балки.

Учитывая сложность расчетов наклонных сечений по условию (3.12), допускается выполнять расчеты по упрощенной схеме (п. 6.2.34 СП 52-101-2003). В этом случае в расчете принимают не наклонные сечения, а нормальные сечения и рассматривают их несущую способность на восприятие поперечной силы. В дальнейших примерах будет принята упрощенная схема расчета по условию (3.17).

      

Рис.3.35. Схемы к примерам 3.7, 3.14

 

12. На основании расчета прочности наклонных сечений проектируем каркасы балки (рис. 3.35, а). Конструктивную длину балки принимаем на 20 мм меньше ее номинальной длины l = 6000 – 20 =5980 мм. Длину каркасов, с учетом свободной постановки в опалубку, принимаем на 20 мм меньше конструктивной длины балки. Итого длина каркаса l _к = 5980 – 20 = 5960 мм. Высота каркасов с учетом свободной постановки каркасов в опалубку принимается на 20 мм меньше высоты балки h _к = h – 20 = 500 – 20 = 480 мм. По расчету, на расстоянии 700 мм от краев балки шаг поперечных стержней 200 мм, а далее 300 мм. Учитывая, что средний участок каркаса желательно назначать кратно шагу поперечных стержней размещаемых на этом участке, принимаем его равным 15×300 = 4500 мм. Назначаем концевые участки каркаса (рис. 3.35, б), принимаем: с ₁ = 30 мм, с ₂ = 20 мм.

Пример 3.15. По данным примера 3.8рассчитать прочность наклонных сечений балконной плиты и балки Б-1.

Решение.

Расчет балконной плиты

1. Строим эпюру поперечных сил плиты (рис. 3.36).

 

Рис.3.36. Расчётная схема и эпюра поперечных сил плиты. К примеру 3.15

 

 

Величина опорных реакций А = Б =28,35 кН;

Q _max = А – ql ₁ = 28,35 – 20,25·0,6 = 16,2 кН.

2. Расчетные сопротивления: (бетон В15) R_b = 8,5 МПа = 0,85 кН/см²; R_bt = 0,75 МПа = 0,075 кН/см².

3. Выполняемрасчет прочности по полосе между наклонными сечениями, условие (3.11)

Q = 16,2 кН ≤φ _{b 1} R_b b h ₀ = 0,3·0,85·250·9 = 173 кН, условие выполняется.

4. Проверяем выполнение условия (3.17)

  Q = 16,2 кН ≤ Q_{b 1} = 0,5 R_btbh ₀ = 0,5·0,075·250·9 = 84,4 кН, условие выполняется, армирование плиты поперечными стержнями не требуется.   

Расчет балки Б-1      

5. Выполняем расчет прочности наклонных сечений балки. Эпюра поперечных сил (рис. 3.37).

 

Рис.3.37. Расчётная схема и эпюра поперечных сил балки. К примеру 3.15

 

                             Q _max = (q γ _n) l = 16,9·1,0·2,5 = 42,25 кН.

6. Бетон В25, арматура поперечных стержней А400, в сечении два стержня диаметром 6 мм (см. рис. 3.14), площадью А_sw = 0,57 см². Расчетные сопротивления: R_b = 14,5 МПа = 1,45 кН/см²; R_bt = 1,05 МПа = 0,105 кН/см²; R_sw = 285 МПа = 28,5 кН/см².

7. Выполняемрасчет прочности по полосе между наклонными сечениями по условию (3.11)

Q = 42,25 кН ≤φ _{b 1} R_bbh ₀ = 0,3·1,45·20·26 = 226,2 кН, условие (3.11) выполняется, прочность наклонной полосы между наклонными трещинами обеспечена. 

8.  Проверяем выполнение условия (3.17), проверяем сечение у опоры (а = 0): 

  Q_{b 1} = 0,5 R_btbh ₀, значение    Q_{b 1} в сечениях находящихся на расстоянии (а < 2,5 h ₀) следует умножать на коэффициент 2,5/(а / h ₀), но Q_{b 1} принимается не более значения 2,5 R_bt bh ₀.

                                 Q_{b 1} = 2,5·0,105·20·26 = 136,5 кН.

Q _max =  42,25 кН < Q_{b 1} = 136,5 кН, прочность обеспечена.

 Поперечная сила воспринимаемая бетоном Q_{b 1} меняется по длине элемента (рис. 3.34, а); поперечная сила Q_{sw ,1}воспринимаемая поперечными стержнями также меняется по длине элемента в соответствии с графиком (рис. 3.34, б). Из анализа графиков следует, что кроме опорного сечения (а = 0), необходимо проверить сечение на расстоянии (а = 2,5 h ₀).

Проверяем выполнение условия (3.17): сечение на расстоянии (а = 2,5 h ₀);

а = 2,5·26 = 52 см. На этом расстоянии поперечная сила равна Q = 33,5 кН. Так как сечение балки переменно, оно уменьшилось и составило:

h = 27 см, рабочая высота сечения h ₀ = h – а = 27 – 4 = 23см.

                            Q_{b 1} = 0,5 R_bt bh ₀ = 0,5·0.105·20·23 = 24,15 кН.

Q = 33,5 кН > Q_{b 1} = 24,15 кН, прочности бетона не хватает, требуется поперечная арматура. Принимаем шаг поперечных стержней s_w = 10 см; по формуле (3.15) Проверяем условие (3.20)   q_sw ≥0,25 R_btb = 0,25·0,105·20 = 0,525 кН/см условие выполняется, проверяем отношение (3.21) s_w / h ₀ ≤ s_{w ,max}/ h ₀ = R_btbh ₀/ Q. 10/23 = 0,435 < 0,105·20·23/33,5 = 1,44, условие выполняется, можно учитывать работу поперечных стержней.

 По формуле (3.19) Q_{sw ,1} = q_swh ₀ = 1,62·23 = 37,3 кН. Проверяем условие (3.17)    Q ≤ Q_{b 1} + Q_{sw ,1} = 24,15 + 37,3= 61,45 кН, условие выполняется, прочность наклонных сечений обеспечена Q = 33,5 кН < Q_{b 1} + Q_{sw ,1} = 61,45 кН.

9. Проектируем армирование балки, см. рис. 3.38, 3.39.

 

         

Рис.3.38. Арматурно-опалубочный чертёж балки. К примерам 3.8, 3.15:

1 – каркас К-1; 2 – соединительные стержни; 3 – закладная деталь; 4 – монтажная петля

 

Рис.3.39. Чертёж каркаса балки К-1. К примерам 3.8, 3.15:

1 – арматура Ø 22, А400; 2 – арматура Ø 8, А400; 3 – арматура Ø 6, А400

Пример 3.16. Используя данныепримера 3.10 (рис. 3.20, 3.21, 3.22) выполнить расчет прочности наклонных сечений двутавровой балки. Запроектировать ее арматуру. Наибольшее значение поперечной силы Q _max = 104,5 кН. Нагрузка на погонный метр балки q = 50 кН/м = 0,50 кН/см. Определенная после постановки продольной арматуры рабочая высота сечения балки составила h ₀ = 33,75 см.

1. Расчетные сопротивления (бетон В35, поперечная арматура В500): R_b =19,5 МПа = 1,95 кН/см²; R_bt = 1,3 МПа = 0,103 кН/см²; R_sw = 300 МПа = 30 кН/см².

2. Выполняемрасчет прочности по полосе между наклонными сечениями, условие (3.11)

Q _max= 104,5 кН ≤φ _{b 1} R_bbh ₀ = 0,3·1,95·15·33,75 = 296,2 кН, условие выполняется.

3. Проверяем выполнение условия (3.17), сечение на опоре (а = 0)

Q _max = 104,5кН ≤ Q_{b 1} = 2,5 R_btbh ₀ = 2,5·0,13·15·33,75 = 164,5 кН, условие выполняется; проверяем сечение на расстоянии (а = 2,5 h ₀) = 2,5·33,75 = 84см, поперечная сила в этом сечении Q = Q _max – qа = 104,5 – 0,50·84 = 62,5 кН. 

Q_{b 1} = 0,5 R_btbh ₀ = 0,5·0,13·15·33,75 = 32,9 кН, так как Q> Q_{b 1,} бетон без поперечной арматуры не обеспечивает прочность наклонных сечений.

Принимаем шаг поперечных стержней, s_w = 0,5 h ₀ = 0,5·33,75 = 16,8 см, округляем и принимаем s_w = 15 см. По формуле (3.15) проверяем условие (3.20) q_sw ≥ 0,25 R_btb = 0,25·0,13·15 = 0,488 кН/см, условие выполняется, следовательно, можно учитывать работу поперечных стержней. Проверяем отношение (3.21) s _w/ h ₀ ≤ s_{w ,max}/ h ₀ = R_btbh ₀/ Q;15/33,75 = 0,444 < 0,13·15·33,75/62,5 = 1,05, условие выполняется, можно учитывать работу поперечных стержней.

Q_{sw ,1} = q_swh ₀ = 1,0·33,75 = 33,75 кН. Проверяем условие (3.17)

Q ≤ Q_{b 1} + Q_{sw ,1} = 32,9 + 33,75 = 66,7 кН, прочность наклонных сечений обеспечена Q = 62,5 кН < 66,7 кН.

4. Определяем расстояние от опор до сечений, где выполняется условие

Q = Q_{b 1}. Из соотношения Q _max– qа = 0,5 R_btbh ₀; определяем расстояние

а = (Q _max – 0,5 R_btbh ₀)/ q = (104,5 – 0,5·0,103·15·33,75)/0,50 = 155,86 см,

 следовательно, с каждой стороны от опор на длине в 2·155,86 = 312 см требуется шаг поперечных стержней 150 мм, вся расчетная длина балки составляет 380 см, изменять шаг поперечных стержней в каркасе на оставшемся участке не имеет смысла, принимаем шаг постоянным s _w = 150 мм.

5. Конструируем балку. Сборку арматурных изделий производят на основании арматурно-опалубочного чертежа (рис. 3.40) и сборочной спецификации (табл. 3.1). Для определения общего расхода металла в элементе, составляем ведомость расхода стали (табл. 3.2).

Рис.3.40. Арматурно-опалубочный чертёж балки Б-1. К примерам 3.10, 3.16

(спецификацию арматуры см. в табл.3.1)

 

 

Проектируем чертежи арматурных изделий. Балка армируется каркасом К-1, полка балки дополнительно армируется сеткой С-1 (рис. 3.41), на каркас и сетку составляются спецификации арматуры (табл. 3.3, 3.4). Чертежи и спецификации арматурных каркасов и сетки выполняют для их изготовления в арматурном цехе.

Для подъема и монтажа балки в ней необходимо предусмотреть монтажные петли. Монтажные петли выполняют из гладкой арматуры, часто их изготовление осуществляется из арматуры А240.

 

Рис.3.41. Арматурные изделия балки Б-1. К примерам 3.10, 3.16:

а – арматурный каркас К-1; б – арматурная сетка С-1

(спецификацию арматуры см. в табл.3.3, 3.4)

 

Диаметры петель зависят от массы поднимаемого изделия приходящейся на одну петлю, например, петля (ø 10 мм, А240 выдерживает 700 кг); (ø 12 мм, А240 выдерживает 1100 кг) см табл. 5.3 Пособия по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры.

Для приварки балки на опорах, предусматривают закладные детали М-1 (рис. 3.42). Спецификация закладной детали и монтажной петли приведена в табл. 3.5.

Спецификации арматурных изделий выполняют на одно изделие, независимо от их количества в элементе, так как рабочий по этому чертежу может изготавливать арматурные изделия для серии железобетонных элементов.

 

Таблица 3.1