Постановка задачи идентификации параметров

Математических моделей методом наименьших квадратов (МНК)

Рассматривается задача идентификации параметров , …,  нестационарного процесса, состояние которого описывают математической моделью (1)-(4).

Требуется методом наименьших квадратов (МНК) определить оценку  вектора параметров , используя результаты наблюдений  и  в момент времени .

В методе наименьших квадратов оценки , …,  параметров , …,  модели (2) изучаемого процесса определяют минимизацией скалярной функции

(8)

по параметрам , …, , где используются матрица  и вектор , которые формируют следующим образом:

; .

(9)

Надстрочный индекс «» в формуле (8) определяет операцию транспонирования матрицы (вектора).

 

Одношаговый (традиционный) алгоритм МНК

Из необходимого условия минимума скалярной функции , заданной формулой (8), по векторной переменной

(10)

получим следующий алгоритм вычисления оценки  вектора параметров :

.

(11)

Уравнения (9), (11) определяет традиционный (одношаговый) алгоритм МНК идентификации параметров модели процесса (1)-(4). Аналогичный алгоритм оценивания параметров можно получить и в случае применения В-сплайнов 3-го порядка (5)-(7).

Из формулы (11) следует, что оценку  вектора параметров  можно только в том случае, когда матрица Гессе  не вырождена. Если матрица  плохо обусловлена, то алгоритм (9), (11) имеет большую погрешность оценивания параметров модели процесса.

Из формул (9), (11) видно, что при определении оценки  на следующем  шаге вычислений найденная ранее оценка  в этом алгоритме не используется. Кроме того, необходимо использовать матрицу  и вектор , которые имеют большее число элементов. Это приводит к увеличению времени вычислений на каждом шаге оценивания параметров с увеличением времени  наблюдения переменной .

ПРИМЕР

Алгоритм МНК использован в задаче синтеза математической модели нестационарного процесса, график изменения во времени переменной состояния которого приведен на рис. 4.

Рис. 4.

Переменная состояния  этого процесса измеряют с погрешностью , которую в рассматриваемой имитационной задаче формируют по алгоритму:

Математическую модель процесса описывают путем аппроксимации неизвестного закона изменения переменной состояния В-сплайнами 1-го порядка (2)-(4) и 3-го порядка (5)-(7) с числом участков непрерывности сплайнов .

Результаты идентификации математической модели процесса с помощью МНК приведены на рисунке 5, где  - оценка переменной  с помощью В‑сплайнов 1-го порядка, а  - оценка переменной  с помощью В‑сплайнов 3-го порядка.

 

Рис. 5.

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Задача 1. С помощью В-сплайнов 1-го порядка методом наименьших квадратов составьте математическую модель процесса:

 

     

используя результаты измерений его переменной состояния

с погрешностью измерений

и входной переменной

,

где:

;   ;  ; ;        .

Задачу решить методом имитационного моделирования, используя значения параметров, приведенные в таблице. При этом массив измеренных (наблюдаемых) значений  переменной состояния  сформировать по заданным выше формулам с известными значениями параметров  и  (заданными в таблице) при разных значениях параметра  возмущающего воздействия . Затем по алгоритму МНК определить оценки параметров В-сплайнов, используя измеренные (наблюдаемые) значения  переменной состояния .

 

Задача 2. С помощью В-сплайнов 3-го порядка и алгоритма МНК определите математическую модель процесса, заданного в задаче №1.

 

	Варианты задания
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1	2	1.5	1.6	1.8	1.1	1.8	1.3	1.4	1.2	1.3	1.4	1.5	1.0	1.2
	2	1	3	2	3	2	1	2	1	3	2	1	4	3	2
	1	1,2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.5	1.2	1.0	0.2	0.3
	4.0	4.2	4.4	4.6	4.0	3.9	4.9	3.5	4.0	4.3	3.8	4.2	4.7	5.0	4.9
	0.1	0.2	0.1	0.2	0.1	0.2	0.3	0.1	0.3	0.1	0.1	0.1	0.2	0.3	0.1

 

По результатам имитационного моделирования:

1. Постройте графики изменения во времени влияющего фактора и переменной состояния анализируемого процесса;

2. Постройте графики интерференции финитных функций В-сплайнов 1-го и 3-го порядков;

3. Постройте графики изменения оценок выходной переменной в зависимости от значений влияющего фактора ;

4. Выполните анализ точности полученных решений.

5. Составьте отчет по результатам выполнения лабораторной работы.