Определение импульсной характеристики резонансного контура. Построение её графика. Оценка по нему параметров контура.

Импульсная характеристика по определению – реакция на воздействие в виде -функции. Изображение дельта функции = 1. Таким образом, чтобы найти импульсную характеристику достаточно выполнить обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

То есть

Сопоставим с табличным выражением и найдем F,  (Аналогично пункту в Операторном анализе (см стр 8).

Тогда: Откуда:  ,

Тогда импульсная характеристика имеет вид:

Построим график импульсной характеристики:

Постоянная времени

Уменьшим масштаб, чтобы убедиться в том, что

Определив по графику период и постоянную времени, можно приблизительно вычислить добротность:

 

Определение выражения для переходной характеристики контура. Построение её графика.

Как известно, переходная характеристика – реакция цепи на воздействие в виде функции Хевисайда. Зная импульсную характеристику цепи и связь дельта-функции с функцией Хевисайда можно определить выражение для переходной характеристики.

Функция Хевисайда связанна с дельта-функцией через интеграл:

Тогда, переходная характеристика является интегралом от импульсной характеристики:

 

Интегрируя, заметим, что одно из слагаемых является функцией синуса с очень малым коэффициентом, его можно опустить, тогда, получим:

Построим график:

 

Определение сигнала на выходе контура путем свертки заданного входного сигнала и импульсной характеристики

а) Аналитическим расчетом интеграла свертки:

То есть, необходимо найти площадь, где функции (первый фрагмент экспоненты и инверсная, смещенная импульсная характеристика перекрывают друг друга, это происходит при от

Тогда, интеграл свертки:

При  будет два интеграла, так как будет происходить перекрытие уже двух функций с инверсной, смещенной импульсной характеристикой:

При этом результат интегрирования в первом случае () нужно будет умножить на разность функций Хевисайда, соответствующих началу входного сигнала и концу, то есть:

А во втором случае (), результат суммы интегралов умножить на

 

Для вычислений воспользуемся Wolfram Mathematica

1)

         

Полученное выражение необходимо умножить на

2)

Полученное выражение необходимо умножить на

3)

Полученное выражение необходимо умножить на

В итоге, упрощая, получим выходной сигнал в форме:

 

 

Построение графика выходного сигнала, сравнение с графиком, полученным с помощью операторного метода.

График, полученный с помощью временного метода анализа линейной цепи, совпал с графиком, полученным с помощью операторного метода, что указывает на правильность решения.

 

Выводы по части 2

Полюса передаточной функции расположены левее мнимой оси, что говорит о том, что коэффициент затухания отрицательный, т.е. колебание будет затухать. При смещении полюсов влево, коэффициент затухания увеличится (по модулю), т.е. импульсная характеристика будет затухать быстрее. С увеличением частоты свободных колебаний, при том же коэффициенте затухания, диаграмма полюсов расширяется относительно оси абсцисс, а импульсная характеристика будет иметь более высокочастотное заполнение.

При расположении полюсов правее оси ординат, импульсная характеристика будет нарастать с ростом аргумента, т.е. после прекращения воздействия, напряжение на выходе не будет стремится к 0, цепь будет неустойчива.

В моем случае по диаграмме полюсов видно, что цепь устойчива, а после прекращения воздействия, выходное напряжение будет стремится к 0.

В основе временного метода анализа линейных цепей лежит понятие импульсной (g(t)) и переходной (h(t)) характеристик цепи, причем и переходная, и импульсная характеристики определяются при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика определяется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции (так как изображение дельта-функции равно 1), а переходную характеристику можно определить двумя методами, либо через обратное преобразование Лапласа (в таком случае, передаточную функцию необходимо разделить на p), либо как интеграл от импульсной характеристики (именно такой метод применялся в данной работе).

Применения метода свертки позволяет вычислить реакцию цепи на любое внешнее воздействие, зная импульсную характеристику. Но численный расчет интеграла свертки стоит производить с помощью математических программ, так как вычислять его вручную неэффективно.

График полученной реакции полностью совпал с тем графиком, который был получен операторным методом, что указывает на эквивалентность этих двух методов анализа цепей.