Московский авиационный институт. Московский авиационный институт

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

«МАИ»

Кафедра теоретической радиотехники

Институт: Радиоэлектроника, инфокоммуникации и информационная безопасность

Кафедра: 408

Направление подготовки:       11.03.02

Квалификация (степень): Бакалавр

Группа:   М4О-211Б

 

Курсовая работа

по дисциплине: «Теория электрических цепей»

Тема: «Анализ линейных цепей»

 

 

 

 

Студент:               Уланов Олег Олегович                            __________________

(Фамилия Имя Отчество)                                  (подпись)

Преподаватель:    Голованов Вадим Валентинович       __________________

                                                                    

 

г.Москва

2020

 

Содержание

Оглавление

 

Задание. 3

Подготовительный этап. 4

1.Определение схемы и заданных параметров. 4

2.Расчет номиналов элементов цепи. 4

1. Операторный анализ. 5

1.1 Определение передаточной функции, построение диаграммы ее нулей, полюсов. Определение параметров контура по диаграмме. 5

1.2 Определение сигнала на выходе контура. 7

1.3 Построение графика реакции. 9

1.4 Выводы по части 1. 10

2. Временной анализ. 11

2.1 Определение импульсной характеристики резонансного контура. Построение её графика. Оценка по нему параметров контура. 11

2.2 Определение выражения для переходной характеристики контура. Построение её графика. 13

2.3 Определение сигнала на выходе контура путем свертки заданного входного сигнала и импульсной характеристики. 14

а) Аналитическим расчетом интеграла свертки: 14

б) Численным расчетом интеграла свертки с использованием программы. 16

2.4 Построение графика выходного сигнала, сравнение с графиком, полученным с помощью операторного метода. 17

2.5 Выводы по части 2. 18

3. Анализ частотных характеристик. 19

3.1 Определение аналитического выражения для КЧХ, связывающей заданную реакцию и величину, создаваемую источником. 19

3.2 Нахождение аналитического выражения и построение графика АЧХ и ФЧХ. Оценка по графикам параметров контура: резонансная частота, полосы пропускания, добротность, а также максимальный коэффициент передачи. 19

3.3 Построение векторной диаграммы для источника и реакции на f0, fн или fв. 21

3.4 Изображение графиков гармонических колебаний источника и реакции на f0, fн или fв. Определение по ним соотношения между амплитудами, разность начальных фаз гармонических колебаний. 22

3.5 Выводы по части 3. 23

Задание

Подготовительный этап

1. Получить номер варианта задания. Согласно номеру варианта определить номер схемы и параметры исследуемого контура. По номеру схемы определите топологию цепи.

2. Рассчитать номиналы элементов схемы контура, обеспечивающие заданные параметры варианта. Эти значения будут использованы для всех численных расчётов в работе.

Часть I. Операторный анализ

1. Определить системную передаточную функцию резонансного контура и построить диаграмму ее нулей и полюсов. Определить параметры резонансного контура по полученной диаграмме.

2. Получить у преподавателя форму входного воздействия. Определить сигнал на выходе контура с помощью преобразования Лапласа.

3. Построить график выходного сигнала, сопоставить с входным сигналом.

4. Сделать выводы по части I.

Часть II. Временной анализ

1. Определить импульсную характеристику резонансного контура. Построить её график. Оценить по нему параметры контура.

2. Определить выражение для переходной характеристики контура. Построить её график.

3. Определить сигнал на выходе контура путём свертки заданного входного сигнала и импульсной характеристики:

а) аналитическим расчётом интеграла свёртки;

б) численным расчетом интеграла свертки с использованием программы.

4. Построить график выходного сигнала и сравнить с результатами использования операторного анализа.

5. Сделать выводы по части II.

Подготовительный этап

Операторный анализ.

Построение графика реакции.

Реакция на полное воздействие:

 

Для построения графика воспользуемся Wolfram Mathematica

Выводы по части 1

В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из временной области в область комплексного переменного p, при это операции дифференцирования и интегрирования заменяются соответствующими операциями умножения и деления функции комплексного переменного на оператор p, что существенно упрощает расчет.

С помощью данного метода, опираясь лишь на системную передаточную функцию можно определить параметры контура, сведения о частотных характеристиках (о чем пойдет речь в 3 части работы), а также зависимость реакции цепи на входное воздействие от времени.

Полюса располагаются в левой полуплоскости, что говорит о стабильности цепи (коэффициент затухания имеет отрицательный знак), т.е. импульсная характеристика (о которой пойдет речь во 2 части работы) будет затухать.

График реакции: функция реакции не имеет точек разрыва, что свидетельствует о правильности решения (напряжение на емкости не изменяется скачком), так как до момента времени t = 0 с, напряжение на емкости было = 0 и после подачи на вход сигнала, напряжение плавно изменялось, стремясь к 0 (что объясняется тем, что при  емкость будет вести себя, как ХХ, тогда напряжение на сопротивлении  будет равно 0. Напряжение на сопротивлении  по закону Кирхгофа для напряжений будет равно напряжению на индуктивности (которая при становится КЗ), т.е. напряжение на сопротивлении  = 0, тогда все напряжение от источника на  будет на ХХ и, соответственно, на графике и реакции, и воздействия можно заметить асимптоту V = 0 В.

 

Временной анализ.

Выводы по части 2

Полюса передаточной функции расположены левее мнимой оси, что говорит о том, что коэффициент затухания отрицательный, т.е. колебание будет затухать. При смещении полюсов влево, коэффициент затухания увеличится (по модулю), т.е. импульсная характеристика будет затухать быстрее. С увеличением частоты свободных колебаний, при том же коэффициенте затухания, диаграмма полюсов расширяется относительно оси абсцисс, а импульсная характеристика будет иметь более высокочастотное заполнение.

При расположении полюсов правее оси ординат, импульсная характеристика будет нарастать с ростом аргумента, т.е. после прекращения воздействия, напряжение на выходе не будет стремится к 0, цепь будет неустойчива.

В моем случае по диаграмме полюсов видно, что цепь устойчива, а после прекращения воздействия, выходное напряжение будет стремится к 0.

В основе временного метода анализа линейных цепей лежит понятие импульсной (g(t)) и переходной (h(t)) характеристик цепи, причем и переходная, и импульсная характеристики определяются при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика определяется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции (так как изображение дельта-функции равно 1), а переходную характеристику можно определить двумя методами, либо через обратное преобразование Лапласа (в таком случае, передаточную функцию необходимо разделить на p), либо как интеграл от импульсной характеристики (именно такой метод применялся в данной работе).

Применения метода свертки позволяет вычислить реакцию цепи на любое внешнее воздействие, зная импульсную характеристику. Но численный расчет интеграла свертки стоит производить с помощью математических программ, так как вычислять его вручную неэффективно.

График полученной реакции полностью совпал с тем графиком, который был получен операторным методом, что указывает на эквивалентность этих двух методов анализа цепей.

 

Нахождение аналитического выражения и построение графика АЧХ и ФЧХ. Оценка по графикам параметров контура: резонансная частота, полосы пропускания, добротность, а также максимальный коэффициент передачи.

АЧХ - это модуль комплексного числа, то есть модуль : посчитаем как отношение модуля числителя к модулю знаменателя, учитывая, что числитель и знаменатель – комплексные числа, заменим

Построим график:

ФЧХ - это аргумент комплексного числа, аргумент : посчитаем как разность аргументов числителя и знаменателя: учтем, что для каждой области есть свое выражение:

(График ФЧХ  при высоких частотах (МГц))

Выводы по части 3.

Зная передаточную функцию, можно при помощи замены () перейти к КЧХ, по которой можно определить АЧХ и ФЧХ.

АЧХ определяется как модуль КЧХ, ФЧХ как аргумент КЧХ.

По АЧХ можно определить: резонансную частоту, максимальное значение добротности (отношение амплитуд выходного колебания к входному), ширину полосы пропускания, нижнюю и верхнюю частоты (АЧХ на них отличается в меньшую сторону в раз от max).

ФЧХ: на резонансной частоте будут компенсироваться реактивные сопротивления, поэтому фаза на выходе будет определяться фазой напряжения на емкости (напряжение на емкости отстает от тока цепи на четверть периода).

ФЧХ: при стремлении частоты к нулю, емкость будет иметь огромное сопротивление, а индуктивность, наоборот, маленькое сопротивление, она закоротит параллельное ей сопротивление, а емкость будет вести себя как разрыв цепи, поэтому все входное напряжение будет уходить на напряжение холостого хода и фаза совпадет с фазой входного сигнала.

ФЧХ: за резонансной частотой стремится к -Pi, так как реактивные сопротивления уже не компенсируются, индуктивность оказывает влияет на цепь, а так как ток на индуктивности отстает от напряжения, то в результате определится разность фаз как сумму -Pi/2 +(– Pi/2) = -Pi.

ФЧХ: при стремлении частоты к бесконечности, сопротивление индуктивности будет огромным, поэтому ток не пойдет через сопротивление индуктивности (правило делителя тока), а пойдет через параллельное индуктивности сопротивление, то есть фаза на выходе будет определятся как -Pi/2.

Максимальное значение АЧХ достигается на резонансной частоте, так как на резонансной частоте произойдет компенсация реактивных сопротивлений (между ними будет «виртуальное» КЗ), а, значит, сопротивление контура будет определятся сопротивлениями резистивных элементов, тогда ток цепи достигнет своего максимума.

АЧХ при стремлении частоты к бесконечности: С увеличением частоты относительно резонансной̆, АЧХ стремится к нулю, это объясняется тем, что емкость (конденсатор) закорачивает выходные клеммы с ростом частоты, поскольку емкостное сопротивление с ростом частоты уменьшается.

АЧХ при стремлении частоты к нулю. При стремлении частоты к нулю значение АЧХ стремится к единице. Это можно объяснить так:
сопротивление емкости при стремлении частоты к нулю стремится к бесконечности, ток по цепи не течет, падение напряжения на резистивных элементах и L равно нулю, следовательно, напряжения на входе и выходе одинаковы и их отношение равно единице.

Изменяя индуктивность или емкость можем изменить резонансную частоту и сместить max АЧХ:

При увеличении (уменьшении) L: резонансная частота обратно пропорциональна корню из L, поэтому с увеличением(уменьшением) L резонансная частота уменьшится (увеличится), пик АЧХ сместится влево(вправо). Значение добротности при этом изменится:   - увеличится (уменьшится).

При увеличении (уменьшении) C: резонансная частота также уменьшится (увеличится), а добротность уменьшится (увеличится).

При высокой добротности полоса пропускания колебательного контура узкая, она пропускает частоты вблизи f р и контур называется полосно-пропускающим фильтром.

С уменьшением добротности полоса пропускания контура расширяется, а пик функции будет иметь меньшее значение.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

«МАИ»

Кафедра теоретической радиотехники

Институт: Радиоэлектроника, инфокоммуникации и информационная безопасность

Кафедра: 408

Направление подготовки:       11.03.02