Метод вычисления частных производных.

Если бы вам нужно было вычислить производную функции, содержащей параметр C, например , то понятно, что  = . Так вот, аналогично, если функция нескольких переменных, то при дифференцировании по одной из них, остальные в роли параметров, то есть вы можете мысленно «заморозить» их или даже переобозначить через A или C, а после вычисления производной, разморозить или переобозначить обратно.

Пример 261.   тогда:

,

.

Пример 262.   тогда:

,

,

.  

Если объединить частные производные в один вектор, то получим .

этот вектор называется градиентом функции.

Кроме , применяется обозначение .

Если после вычисления частных производных фиксировать переменные, то есть взять конкретную точку, то получится градиент в точке. Это вектор, состоящий из чисел, а не функций.

Пример. Пусть . Соответствующая поверхность - эллиптический параболоид. Градиент поверхности это вектор . Теперь, если фиксировать точку (1,0) то получим, что градиент равен (2,0) а если точку (1,1) то (2,2) и т.д. Градиент для этой функции всегда направлен радиально от начала координат.

И действительно, если точка находится под этой поверхностью, то она должна двигаться в направлении от центра, чтобы рост высоты поверхности над ней происходил быстрее всего.  

Производные высшего порядка.

После дифференцрования по той или иной переменной, мы получаем снова функцию от тех же нескольких переменных. Её снова можно продифференцровать по одной или другой переменной. Таким образом, получается n² возможностей определить какие-либо вторые производные, например, если две переменных, то вторых производных будет четыре: , , , .

 

Покажем их нахождение в виде схемы:

 

Смешанные вторые производные ,   совпадают.

Также применяются и такие обозначения: 

, , , .

Задача 263. Дана функция . Найти координаты вектора   в точке .

Решение. Найдём две частных производных.

 = ,  = .

Градиент в произвольной точке: .

Кстати, для получившегося векторного поля функция   называется потенциалом.

Градиент в точке : .

Ответ. .

Задача 264. Дана функция . Найти   в точке .

Решение.

 = ,  = ,  = .

Градиент в произвольной точке: .

Градиент в точке : .

Ответ. .

Практика 25.

Задача 265. Найти градиент функции  в точке (1,1,1).

Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем .

Ответ. .

Производная по направлению.

В определении частных производных, мы рассматривали приращение аргумента в виде  или . Но ведь от исходной точки можно отступить не только в направлении координатных осей, но и в произвольном направлении. Если рассмотреть разность значений функции в какой-то паре точек, расположенных произвольно, а не вдоль оси, то есть   и затем приближать 2-ю точку к первой, и при этом делить  на расстояние между точками, получим предел

называется «производная по направлению». Будем считать, что вектор нормирован, то есть . Только в этом случае мы получим правильный результат, ведь нужно измерять скорость изменения функции именно в расчёте на единицу длины при движении по этой прямой.

 

Если это направление соответствует какой-либо из координатных осей, то как раз и получаются частные производные, которые изучили раньше.