Выпуклость графика и 2-я производная.

Задача 258. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции .

Решение. Сначала, очевидно, надо найти первую производную.

 =  = . 

Первая производная положительна, она может обратиться в 0 лишь при . Так как она нигде не отрицательна (ведь все степени чётные) то интервал роста не сменяется интервалом убывания, а снова продолжается рост. Таким образом, мы установили, что экстремумов нет, функция монотонно возрастает. 

Теперь найдём 2-ю производную.

 =

Сократим по крайней мере на одну степень выражения .

 =  =

=  =  выделили множитель, который заведомо больше 0, а также там видим 2 множителя, которые могут менять знак. Когда они одного знака, оба плюс или минус, тогда вторая производная больше 0, а когда разного знака, тогда меньше 0.

1)  на ,  на .

2) .

Теперь сопоставим эти интервалы, вот на схеме жёлтым показано, на каком интервале то или иное выражение положительно, а зелёным - отрицательно:  

 

Итак, , если  и .

На этих интервалах график выпуклый вниз.

, если  и .

На этих интервалах график выпуклый вверх.

Ответ.  и  выпуклый вниз, 

 и    выпуклый вверх.

Точки перегиба .

 

Задача 259. Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) графика функции .

Решение.  , , .

 при , график выпуклый вниз.

 при , график выпуклый вверх.

Впрочем, строение такой гиперболы хорошо известно: на правой полуоси график пройдёт ниже хорды, а на левой выше. Чертёж:

Ответ.   Выпуклый вниз при , вверх при .

 

Задача 260. Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) графика функции .

Решение. , , .

 везде в области определения, т.е. на , график выпуклый вниз. График: 

Ответ. Выпуклый вниз в .

Проект далее.

Лекции	Практика у 530-1
2.12 Частные производные, градиент	4.12 (№24),   7.12 (№25)
10.12 Первообразная, неопр интеграл. Подведение по dx, инт по частям	11.12 (№26), 17.12 (№27)
15.12 Интегрирование рац. дробей	17.12 (№27), 18.12 (№28)
16.12 Дифф. уравнения 1 порядка	21.12 (№29), 25.12 (№30)
24.12 Дифф уравнения n порядка	25.12 (№30)

 

«Частные производные, градиент».

Рассмотрим производные для функций нескольких переменных . Пусть например, дана функция , или . Приращение аргумента в этом случае задаётся не однозначным образом: ведь можно задать приращение каждому из аргументов, которых несколько. Так, например, для  можно фиксировать y и рассмотреть функцию . Это уже будет функция одной переменной. График функции  это поверхность, тогда при фиксировании  получается сечение поверхности вертикальной плоскостью, то есть кривая.

 

Можно задать приращение только для , и тогда получим такое понятие, как частная производная. 

Определение. Производной функции f по переменной x называется предел:  .

Кроме  ещё применяют такое обозначение: .

Аналогично определяется частная производная по y, ведь можно взять вторую точку, отступив в направлении другой оси.

.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся в одном из сечений.

Физический смысл. Если функция - это температура воздуха, то например, при движении самолёта строго на юг температура за бортом будет возрастать, а при движении на запад или восток почти неизменна. Как видим, частные производные в двух перпендикулярных направлениях могут сильно отличаться.