Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывность и точки разрыва.
Определение. называется правосторонним пределом функции в точке , если: , так, что при выполняется: . Обозначается . Аналогично, называется левосторонним пределом функции в точке , если: , так, что при выполняется: . Обозначается . Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке определено значение , и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами: .
Если это не выполняется, точка называется точкой разрыва.
Типы точек разрыва.
Примеры точка разрыва точки разрыва 2 и 3. . Предел слева равен 0, справа . График:
Задача 212. Найти точку разрыва и охарактеризовать её тип: . Решение. Здесь при любом верно , а при любом верно . В точке 0 односторонние пределы различны. Ответ. Разрыв 1 рода Задача 213. Охарактеризовать тип точки , если . Решение. Односторонние пределы для этой функции таковы: = = , т.к. если и при этом то . = = , т.к. если и при этом то . Ответ. Разрыв 1 рода.
Задача 214. Исследовать тип разрыва для . Решение. И при , и при здесь , а тогда . Тогда для обоих односторонних пределов получается одинаково: . Тогда разрыв устранимый. К тому же функция чётная, и так ясно, что с двух сторон симметричные ветви графика. Так что достаточно было вычислить только с одной стороны. Ответ. устранимый разрыв. Примечание. График этой функции: Задача 215. Найти точки разрыва и определить их тип . Решение. Вычислить значение функции обычным путём здесь нельзя лишь в точках где знаменатель обращается в 0. Эти две точки подозрительные на существование разрыва, мы и будем исследовать. Во-первых, можно представить так: . Надо найти оба односторонних предела в каждой из точек. Рассмотрим . Для предела справа, и модуль раскрывается без лишнего знака: = = = . Для предела слева, , и при раскрытии модуля знак минус: = = = . Получились разные константы. Значит, разрыв 1-го рода.
Рассмотрим . Здесь и раскрываются одинаково, и равны 2 и . А отличие в том, какого знака бесконечно-малая в знаменателе. = = = .
= = = . Хотя бы с одной стороны предел или не существует, значит разрыв 2-го рода. Ответ. разыв 2 рода, разрыв 1 рода. Чертёж к этой задаче. Синим цветом показан график этой функции, жёлтым - вертикальная асимптота, где разрыв 2-го рода.
Задача 216. Исследовать тип точки разрыва для . Решение. Ищем односторонние пределы вокруг 0, но при этом каждый раз домножаем и делим на , так чтобы избавиться от синуса в выражении. = = = = 1. = = = = . Здесь знак модуля раскрывается по-разному в зависимости от того, справа или слева от 0 мы находимся. Это либо либо . Получились различные числа. Разрыв 1-го рода. Ответ. разрыв 1 рода. Примечание. Вот график этой функции: Задача 217. Выяснить тип точки для . Решение. Левосторонний предел здесь должен вычисляться с помощью первой ветви функции, а правосторонний с помощью второй. = 0. = 0. Кроме того, . Значение функции существует и равно как левостороннему пределу, так и правостороннему. 0 это точка непрерывности. Ответ. точка непрерывности. График этой функции: Задача 218. Найти точки разрыва и определить их тип для функции: . Решение. Сначала ищем точки, подозрительные на разрыв, то есть где возможен разрыв. Во-первых, это точка стыковки двух ветвей графика, то есть . Там надо предел слева искать с помощью одной функции, а справа - с помощью другой. Кроме того, и . Точка не должна рассматриваться, т.к. правее 1 уже действует другая ветвь функции. Рассмотрим : , . Кроме того, значение в точке 1 тоже существует и равно . Тогда точка непрерывности. Рассмотрим : . . разрыв 2-го рода. Рассмотрим . , . разрыв 1-го рода. Ответ. разрыв 2 рода, точка непрерывности, разрыв 1 рода. На графике синим цветом показана левая ветвь функции, зелёным - правая, жёлтым - асимптота (она там, где разрыв 2 рода). График этой функции:
Асимптоты. Если то . Горизонтальные: Если , , то асимптота горизонтальная, эта ситуация имеет место, когда . Пример. две односторонние горизонтальные асимптоты: и .
Вертикальные: Если , , то асимптота вертикальная (это соответствует разрыву 2 рода, ).
Наклонные асимптоты. Задача 219. Вывод формул и . Так как точка на графике и на асимптоте сближаются то: . Отсюда следует, что , то есть . Рассмотрим прямую , параллельную асимптоте . Если разность ординат для точки на графике и соответствующей точки на прямой стремится к 0, то разность ординат для точки на графике и точки на прямой стремится к . Отрезок, соответствующий этому расстоянию, отмечен красным на чертеже. Если две величины, и , неограниченно возрастают, и при этом разность между ними стремится к 0, то их отношение стремится к 1, то есть . Но ведь также очевидно, что = = 1. Тогда рассмотрим , этот предел равен 1. Однако если сократить в нём то , а тогда .
Итак, мы получили формулы для нахождения . На практике сначала надо найти , а уже затем . Пример 220. Найти асимптоты графика функции . Решение. Во-первых, сразу видно точку разрыва 2-го рода . Есть вертикальная асимптота . Найдём наклонную асимптоту. (мы просто добавили лишний в знаменателе, тем самым поделили на ). = = = 1. Итак, . Обратите внимание: здесь предел одинаково вычисляется при и при , но бывают примеры, в которых по-разному, то есть на правой и левой полуплоскости могут быть разные асимптоты. Найдём = = = = = = 2. Ответ. Вертикальная x = 2, наклонная y = x + 2. График выглядит так:
Задача 221. Найти асимптоты графика функции . Решение. Во-первых, знаменатель не обращается в 0, поэтому точек разрыва 2-го рода нет, и нет вертикальных асимптот. Горизонтальных асимптот также нет, т.к. , предел не константа С. Ищем наклонные асимптоты. = = 1. = = = . Асимптота . Чертёж: Ответ. Асимптота .
Задача 222. Найти асимптоты графика функции . Решение. Во-первых, при знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты. = = 2. Причём этот результат не зависит от того, предел при или , ведь обе старшие степени чётные. Нашли , т.е. есть наклонная асимптота типа . теперь найдём . = = = = = . Итак, и опять же, это независимо от или . Значит, прямая это двусторонняя асимптота. Ответ. Вертикальная и наклонная . График:
Задача 223. Найти асимптоты графика функции . Решение. Область определения: . Здесь нет знаменателя, который мог бы обращаться в 0, поэтому вертикальных асимптот нет. Функция не ограниченная при , поэтому и горизонтальных асимптот нет, так что ищем только наклонные. Функция чётная, поэтому можем искать только при на правой полуплоскости, а на левой график симметричен, так что если будет асимптотой на правой полуплоскости, то на левой. А вот двусторонняя асимптота здесь никак не могла бы быть, ведь график симметричен относительно вертикальной оси, т.к. функция чётная. = = = 1. = = здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше. = = . Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . Тогда из-за симметрии графика чётной функции на левой полуплоскости наклонная асимптота . Ответ. Две односторонние асимптоты и . График (асимптоты показаны зелёным цветом). Задача 224. Найти асимптоты графика функции . Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при и искать пределы каждый отдельно.
= = = . = = = = = = 0. Итак, , , на правой полуплоскости асимптота . На левой полуплоскости: = = = . = = = = но так как отрицательно то . Итак, на левой полуплоскости , . Здесь не наклонная, а горизонтальная асимптота, . Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота , на левой горизонтальная асимптота .
Задача дом-1. Найти асимптоты графика функции . Ответ. Вертикальные асимптоты . Задача дом-2. Найти асимптоты графика функции . Ответ. Вертикальная: . Наклонная: . Практика 22. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференциал, уравнение касательной. Метод Лопиталя.
= Законы дифф. суммы и разности, произведения, частного. . . . Закон дифференцирования композиции, обратной функции. . Задача 225. Вывести формулу . Решение. По определению, для этой функции надо записать так: преобразуем: = = = . Итак, .
Задача 226. Доказать, что . Решение. = = Так как следующие бесконечно малые эквивалентны: то получим, заменяя на эквивалентную: = . Задача 227. Доказать, что . Запишем производную по определению.
Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет: теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест. Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности: Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге: . Итак, .
Задача 227-Б. Вывести формулу . Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей. = , что и приводит к выражению .
Задача 228. С помощью определения доказать, что . Решение. = = = воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени : = = = = = . Ответ. . Задача 229. Вычислить производную от композиций: А) . Б) Решение. А) = = . Б) = = . Ответы. ; .
Задача 230. Найти производную от . Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит в , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм. = = = , что можно записать в виде . Ответ. .
Задача 231. Найти производную функции . Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда: = = = = . Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое: = . Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же. Ответ. . Задача 232. Найти 1 и 2 производную от . Решение. = = = , что можно записать в виде . Вторая производная: = = . Ответ. .
Задача 233. Найти производную от . Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы осталось только в степени. Основание может быть представлено в виде . Тогда = = . = = = а теперь можем заменить обратно на . После приведения подобных, получим . Ответ. .
Задача 234. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Найти . Решение. = = = = = = = = = = . Итак, . Следующая, 2-я производная: = = = = . Вычислим «тестовое» значение при конкретном . = = = = 2. Ответ. , , =2. Задача домашняя. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Ответ. - - - Перерыв - - -
Задача 235. Найти 1-ю и 2-ю производную и . Решение. = . = = = = = . . Ответ. , , . Задача 236. Дана функция . Найти , . Решение. = = = = = = = . Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную. = = = = = . Вычислим . = = = 48. Ответ. . .
Задача 237. Нарисовать график , если функция задана графически:
Решение. Здесь мы можем рассуждать следующим образом. Запишем функцию на каждом из участков: Тогда можно найти производную на каждом участке отдельно: Тогда график производной выглядит так:
Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение можно представить в виде: где - бесконечно малая более высокого порядка, чем 1-й. Главная линейная часть приращения функции, а именно , называется дифференциалом функции в точке . Обозначается также через . (Вспомнить: главная часть бесконечно-малой). Примечание. Бывают не дифференцируемые функции, например не дифф. в нуле. Нет общей касательной для двух частей графика, правой и левой. Какую бы прямую мы ни провели через (0,0), она не будет касательной к графику функции. Если наклон +450 то есть то разность между ней и левой половиной графика не будет бесконечно-малой: эта прямая является касательной к одной части графика, то она перпендикулярна другой ветви этого же графика. Уравнение касательной. . В этом уравнении, = это фактически и есть дифференциал.
|
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 153; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.65.61 (0.259 с.) |