Задача 238. Вывод уравнения касательной.

Рассмотрим треугольник, его катеты равны и , так как тангенс угла наклона касательной это . Направляющий вектор для прямой направлен в точности по гипотенузе. При этом, мы можем пропорционально увеличить этот треугольник, тогда катеты будут такие: 1 и .Соответственно, направляющим вектором можем считать такой вектор: .

Возьмём теперь точку  где-нибудь на касательной. Она принадлежит касательной в точности тогда, когда вектор  коллинеарен направляющему вектору этой прямой, т.е. .

Запишем пропорцию координат так, как это всегда делали в теме «аналитическая геометрия». Получается каноническое уравнения прямой: . А теперь просто умножим на . Получается .

Замечание. Уравнение касательной можно запомнить в виде  причём, так запомнить легче.

 

Задача 239-А.  Найти касательную к графику  в точке .

Решение. , , . Уравнение , то есть .

Ответ. .

Задача 239-Б.  Найти дифференциал функции  в точке .

Решение. , , . 

Дифференциал: . 

Приближённые вычисления (1,1)^2 = 1,21 с пом dx  1,2 

 

Задача 240. Найти касательную к графику  в точке .  

Решение. , , .

.

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 241. Найти касательную к графику  в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат.   

Решение. , , .

Подставим эту информацию в уравнение .

Получается .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

для этого сначала преобразуем к неявному виду: .

Тогда видно, что . .

 =  = .

Ответ. Касательная , расстояние .

Задача 242. На графике функции  взята точка . Касательная к графику в точке  наклонена к оси  под углом, тангенс которого равен 4. Найти точку  и уравнение касательной в этой точке.  

Решение.  Производная в некоторой точке равна 4. Если , то , тогда .

Общий вид уравнения касательной: .

Тогда в данном случае: .

Ответ. Точка , касательная .

Задача 243. Найти точки на графике , такие, что касательные, проведённые в них, проходят через начало координат.

Решение. Построим уравнение касательной при произвольной абсциссе. Пусть абсцисса . Тогда , . Уравнение касательной . Преобразуем его. . Чтобы не было константы, должно быть , т.е.  или . Высота графика при обоих этих значениях одинакова, и равна 8. Тогда точки:  и .         Ответ.  и .

Задача дом.   Аналогично прошлой задаче, для точки (1,1). – дом. задание.    Ответ.  и .  

Задача дом. Найти уравнение касательной к кривой  в точке .    Ответ. .

Задача дом. Найти уравнение касательной к кривой  в точке .     Ответ. .

Задача дом. Найти уравнение касательной для  в точке .     Ответ. .

 

Практика 23.

Задача 244. Найти касательные к графику  в точках с абсциссами 1 и 2, и точку пересечения этих касательных.

Решение. Во-первых, .

Ищем касательную в 1-й точке.

  , . Тогда , что приводит к

.

Ищем касательную во 2-й точке.

  , . Тогда , что приводит к .

Решаем систему уравнений, ищем пересечение этих прямых:

Вычтем из 2-го 1-е. Тогда .

Ответ. , , точка . 

 

Задача 245.     Найти предел .

Решение. Метод разложения на множители, при степени 3 и выше, более трудоёмкий Сначала поделить каждый многочлен на , останутся многочлены 2-й степени, корни которых можно найти через дискриминант. Будет множитель вида .

По методу Лопиталя: применять можно, условия теоремы выполнены, так как конечное число корней и они изолированы, то есть существует окрестность, в которой нет других корней знаменателя.

 = .

Снова получается неопределённость , поэтому 2-й шаг, здесь придётся дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2 у исходных многочленов.  

 =  =  =  = .

Ответ. .  

Задача 246. Найти предел .

Решение. Методом Лопиталя  =  

= . Но опять получилась неопределённость .

 

Продифференцируем ещё раз  =  =

 = =  = 0,32. Ответ. .   

 

Монотонность и экстремумы.

Опр. 1  (точки наибольшего, наименьшего значения в D). 

Пусть функция f - функция одной переменной, т.е. отображает некоторое множество  в . Точка  называется точкой наибольшего (соответственно, наименьшего) значения в D, если . (соответственно, ).

Опр. 2. (максимум и минимум)

Пусть функция . Точка  называется точкой максимума (минимума), если существует окрестность  точки , такая, что . (для минимума ).

Для максимума и минимума есть общее название - «экстремум».

 

       Локальных максимумов может быть несколько, или даже бесконечное количество. Например, график , здесь через каждые  есть новый максимум:  

 

Понятие «максимум» отличается от понятия «наибольшее значение» тем, что для максимума требуется, чтобы функция была наибольшей в некоторой окрестности, а для наибольшего значения - во всей области.

 

 

Теорема Ферма (необходимый признак экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и  - точка экстремума, то .

Прим. 1) , минимум в точке 0, но там не существует производная, то есть нельзя сказать, что .

2) для , , но при этом нет экстремума.