Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины  может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения , а вторая вероятности :

 

 

где .

Закон распределения дискретной случайной величины  можно изобразить графически, для чего строят прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс откладывают возможные значения , а по оси ординат – соответствующие значения вероятности . Строят точки  и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины  называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 

 

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Дисперсией случайной величины  называют математическое ожидание квадрата отклонения:

 

 

Вычислять дисперсию удобно по формуле:

Средним квадратическим отклонением случайной величины  называют квадратный корень из дисперсии:

 

 

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Пример. Найти математическое ожидание , дисперсию  и среднее квадратическое отклонение  дискретной случайной величины , закон распределения которой задан в виде таблицы:

 

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений  на их вероятности:

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

 

 

Составим закон распределения :

 

 

Найдем математическое ожидание :

.

Подставив в формулу для вычисления дисперсии  и  найденное ранее, получим:

 

.

 

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

 

.

 

Начальным моментом порядка k случайной величины  называют математическое ожидание величины :

 

.

 

В частности, .

Центральным моментом порядка k случайной величины  называют математическое ожидание величины :

 

.

 

В частности, .

Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:

 

Пример. Дискретная случайная величина  задана законом распределения:

 

 

Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение. Найдем начальный момент первого порядка:

.

Составим закон распределения величины :

 

 

Найдем начальный момент второго порядка:

.

Составим закон распределения величины :

 

 

Найдем начальный момент третьего порядка:

.

Центральный момент первого порядка равен нулю: .

Для вычисления центральных моментов второго и третьего порядков удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные: