Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

 

.

 

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий (например, для трех совместных событий):

.

 

Пример. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет  очков, равна ; вероятность выбить  очков, равна . Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее  очков.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее  очков. Событие  произойдет, если стрелок выбьет или  очков (событие ), или  очков (событие ), т.е.  – сумма событий  и .

События  и  несовместные (попадание в , исключает попадание в  при одном выстреле, и наоборот), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:

 

.

Пример. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет меньше  очков.

Решение. Событие  – при одном выстреле стрелок выбьет меньше  очков, является противоположным событию  (при одном выстреле стрелок выбьет не менее  очков). Следовательно:

 

.

 

Пример. Игральную кость подбросили один раз. Найти вероятность следующего события: на верхней грани появится либо четное число, либо число кратное трем.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что появится либо четное число, либо число кратное трем. Событие  произойдет, если при бросании появится или четное число (событие ), или число кратное трем (событие ), т.е.  – сумма событий  и .

; (т.к. общих исходов , благоприятствующих  исходов

).

; ( ).

События  и  совместные (при появлении «» появится и четное число, и кратное трем). Поэтому применяем теорему сложения вероятностей совместных событий:

 

.

 

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример. игральная кость брошена два раза. Вероятность появления «» при втором бросании (событие ) не зависит от появления «» при первом бросании (событие ).

События  и – независимые.

Пример. В ящике  красных и  белых шара. Из ящика наудачу берут один шар. Очевидно, вероятность появления красного шара (событие ) равна . Взятый шар возвращают в ящик и испытание повторяют. Вероятность появления красного шара при втором испытании (событие ), по прежнему равна  и не зависит от результата первого испытания. Т.о. события  и – независимые.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий.

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Пример. В ящике  красных и  белых шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в ящик. Если появился красный шар (событие ), то вероятность извлечения красного шара при втором испытании (событие ) ; если же в первом испытании вынут белый шар, то вероятность .

Т.о. вероятность появления события  зависит от наступления или ненаступления события . События  и – зависимые.