Классическое определение вероятности

 

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим определение, которое называют классическим.

Каждый из возможных результатов испытания, т.е. каждое событие, которое может наступить в испытании, назовем элементарным исходом.

Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.

 

;

 

где  – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ;

 – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность есть число, характеризующее возможность появления события.

Пример. В урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем  из них – красные,  – синие и  – белый. Из урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар: а) красный; б) синий; в) белый?

Решение. а) Пусть событие – извлекли красный шар.

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к. в урне  красных шара);

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 шаров);

;

б) Пусть событие – извлекли синий шар:

;

в) Пусть событие – извлекли белый шар:

;

Пример. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

а) число «»; б) четное число; в) число «»; г) не более 6 ^и очков.

Решение. При бросании игральной кости на верхней грани может появится одна из следующих цифр

а) Пусть событие – на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию  исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 разных цифр);

;

б) Пусть событие – на верхней грани появится четное число.

Число благоприятствующих событию  исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6.

;

в) Пусть событие – на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к.  не выпадет);

.

г) Пусть событие – на верхней грани появится не более 6 ^и очков.

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к. любое выпавшее число не превышает );

.

Свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице;

2. Вероятность невозможного события равна нулю;

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей ;

Наряду с вероятностью, к основным понятиям теории вероятностей относится относительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

 

,

 

где – число появления события;

– общее число испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели .

 

Геометрическая вероятность

 

Геометрическое определение вероятности появилось, благодаря попытке отказаться от конечности m и n.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g.

При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попадания точки в какую либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

 

;

 

(геометрическое определение вероятности).

Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор.

Решение.

Событие А – попадание в сектор.

В данном случае, в качестве меры выступает площадь;

, где  - площадь круга;  - площадь сектора.

;

площадь кругового сектора соответствующего центральному углу в  радиан: ;

длина дуги, соответствующей центральному углу в  радиан: ;

По условию: рад.

 

.

Т.о.        .

 

Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретится в определенном месте во время перерыва между 13ч и 13ч 50мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.

 Решение. Обозначим момент прихода студента А через x, а студента В через y.

Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы .

Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.

Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:

 

;

Исходы, благоприятствующие встрече, - точками заштрихованной области.

 

;

 

Откуда

 

.

 

Аксиомы теории вероятностей

 

Аксиома 1.

Каждому событию  соответствует определенное число , удовлетворяющее условию , и называемое его вероятностью.

Аксиома 2.

Вероятность достоверного события  равна единице.

Аксиома 3.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиома 3^*.

Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме их вероятностей:

 

.

 

Элементы комбинаторики

 

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

q Перестановки;

q Размещения;

q Сочетания;

I. Перестановки.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками.

Обозначаются символом ;

;

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию  только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов – количество комбинаций из  номеров, .

Искомая вероятность: .

Размещения

Комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, илипорядком элементов называют размещениями.

Обозначаются символом

 - количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

 

;

 

Пример. Сколько существует вариантов размещения  призовых мест, если в розыгрыше участвуют  команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из элементов и включающих по  элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»}– различные комбинации). Используем число размещений из  элементов по :

 

.

 

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию  только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать  карточки из имеющихся , получая при этом комбинации букв отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из  элементов по :

.

Искомая вероятность:

 

.

 

Сочетания

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

 - количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

 

;

 

Пример. Сколькими способами можно выбрать  студентов, из группы численностью  человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 30 элементов и включающих по  элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Сергиенко, Божок} и {Сергиенко, Божок, Пархоменко}– одинаковые комбинации). Используем число размещений из  элементов по :

.

Пример. В урне  белых и  красных шара. Из урны наудачу извлекают  шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне  шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  шара из :

 

.

 

Число исходов благоприятствующих событию  равно числу способов, которыми можно отобрать  белых шара из имеющихся  белых:

 

.

 

Искомая вероятность равна:

 

.

 

Пример. В ящике имеется  одинаковых шаров. Причем  из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают  шаров. Найти вероятность того, что среди них  синих.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что среди извлеченных  шаров  синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  шаров из , т.е.

.

 

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию :  синих шара можно взять из  имеющихся синих шаров  способами; при этом остальные  шара должны быть белыми, взять же  белых шара из имеющихся  можно  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

 

.

 

Искомая вероятность:

 

.

 

В общем случае, для решения задач типа: В партии из  деталей имеется  стандартных. Наудачу отобраны  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно  стандартных. Можно использовать формулу:

 

.