Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближается к учителю.

Гете И.

Сложная функция.

Пусть функция  определена на множестве Х, причем все ее значения образуют множество Y. Предположим, что на множестве Y задана другая функция . Тогда имеет смысл выражение . В самом деле, каждому значению переменной х из множества Х соответствует единственное значение переменной y, которое вычисляется по формуле  и принадлежит множеству Y. Так как функция  определена на множестве Y, то в точке  можно вычислить ее значение по формуле . Выражение  называется сложной функцией или суперпозицией (или композицией) (от) двух функций f и g. Переменная у называется промежуточным аргументом функции z. В конечном счете, функция  зависит от аргумента х, который изменяется на множестве Х.

                

Функция f отображает точку х в точку y, а функция g отображает точку у в точку z.

      Аналогично вводится понятие композиции (сложной функции) трех и более функций.

      Так, функцию  можно рассматривать как сложную функцию от двух функций, положив . Очевидно, эта функция определена для любого х. Функцию  можно рассматривать как сложную функцию, образованную тремя функциями . Здесь функция у определена на всей числовой прямой R, функция z определена для , поэтому сложная функция  определена лишь для тех х, для которых , т.е. областью определения сложной функции является множество . Заметим, что одну и ту же функцию можно рассматривать как сложную функцию различного числа составляющих ее функций. Например, функцию  можно рассматривать как композицию двух функций  или как композицию трех функций .

      Рассмотрим функции  и составим из них сложные функции g[f(x)], f[g(x)], f[f(x)], g[g(x)]. Функция  – сложная функция от двух функций  и функции . Функция  определена на множестве  – множество ее значений. Так как функция  не определена в точке , то из рассмотрения нужно выбросить точку , в которой . Во всех остальных точках (на множестве ) сложная функция существует и ее значения вычисляются по формуле  Сложная функция z=f[g(x)] образована из функции  и функции , которая определена для всех . Так как функция  определена для ,то ее значения вычисляются по формуле

              Функция , где . Значит, . Далее , где . Здесь

Вопросы для самопроверки и упражнения.

1. Что называется сложной функцией? Приведите примеры.

2. При каких условиях на исходные функции существует сложная функция?

3. Совпадает ли сложная функция f[g(x)] с функцией g[f(x)]? Приведите примеры.

4. Укажите условия, при которых существуют сложные функции g[f(x)], f[g(x)], f[f(x)], g[g(x)] и найдите их, если:

N	f(x)	g(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.	x
15.
16.	x

5. Для функций  составить сложную функцию f{g[h(x)]}.