Первоначальные сведения о функциях.

1.Понятие функции.

Пусть Х и Y – произвольные не пустые числовые множества, переменная величина х изменяется на множестве Х, а значения перменной величины y принадлежат множеству Y.

Если каждому числу х из множества Х ставится в соответствие по некоторому закону (правилу) f одно и только одно число у из множества Y, то говорят, что на множестве Х определена функция y, записывают это так: . Переменная х называется независимой переменной (или аргументом) функции у, а у –зависимой переменной (или функцией). В записи функции си мвол  указывает на операции, которые нужно выполнить над переменной х, чтобы получить значение переменной у.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается D (y). C овокупность значений функции обозначается E (y) и называется областью изменения (или множеством значений) функции.

                

Например, формула  задает функцию у, значения которой вычисляются по правилу f, которое заключается в возведении числа х в квадрат. Так, числу  соответствует . Так как для каждого числа  можно вычислить значение у, то . Любое значение функ

 

 

ции у является неотрицательным числом, поэтому множество ее значений . Множества D (y), E (y) заштрихованы на рисунке.

 

 

                

Формула  задает функцию, значения которой вычисляются по следующему правилу. Для конкретного х вычисляется значение многочлена , а затем уже из полученного числа извлекается корень. Так, числу  соответствует . Здесь аргумент х может принимать лишь те значения, для которых , так как квадратный корень (как и всякий корень четной степени) определен для неотрицательных чисел. Значит,  Легко видеть, что здесь  .

 

Иногда,приходится принимать за функцию переменную величину х, а за аргумент переменную величину у. Так, формула  не определяет переменную у, как функцию от переменной х, потому что из формулы  следует, что , и, значит, каждому положительному числу х соответствуеют два значения переменной у. Например, если  то .Однако формула  определяет переменную х как функцию от переменной у,так как каждому значению у соответствует одно значение переменной х.В этом случае область определения функции х совпадает с множеством D(x)=(-¥,+¥),т.е. переменная у,как аргумент функции х, изменяется на множестве , а множество значений функции х есть множество . Если же считать, что переменная х изменяется на множестве , а переменная у изменяется на множестве , то формула  будет уже определять переменную у как функцию переменной х, так как из формулы  следует, что , (ведь ), и, следовательно, каждому значению  будет соответствовать только одно значение  .

 

            Здесь  Если же считать, что переменная х изменяется на множестве , то формула  будет определять функцию у от х, которыая задается формулой . Здесь (Рис.12)

Таким образом, формула  определяет две функции  и , для которых переменная х играет роль аргумента или одну функцию , для которой аргументом является переменная у.

Из рассмотренных примеров вытекает, что формула  связывающая пременные х и у, определяет функцию  от переменной х или функцию  от переменной у в зависимости от того, на каких множествах Х и Y изменяются соответствующие переменные х и у. Например, формула  определяет две функции:  и . Для первой функции , для второй функции  (см. рис. 13).

 

            Термин «функция» ввел в 1692 г. Лейбниц. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) – немецкий математик, философ, юрист,геолог, историк, теолог, экономист, библиотекарь и лингвист. Он основал Берлинскую Академию наук, занимался всю жизнь поисками универсального метода с целью сведения всех умозаключений к вычислениям. Лейбниц позже Ньютона, но независимо от него, заложил основы математиче

ского анализа, им была изобретена вычислительная машина, введено понятие определителя. Современное обозначение функции  было введено в 1748г. Леонардом Эйлером. Леонард Эйлер (1707-1789) был величайшим математиком. Являясь членом Академии наук в Санкт-Петербурге, он долгое время работал в России. Последние 13 лет своей жизни Эйлер провел в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. До сих пор не все его работы опубликованы, хотя уже вышло 70 объемистых томов его трудов.

Графиком функции  определенной на множестве Х, называется множество всех точек  плоскости хОу, где .