Сформулируйте и докажите свойства 1-6 модуля числа.

12. Верно ли, что ? Докажите.

13. Верно ли, что , если ?

14. Доказать, что

15. , докажите.

Что меньше: расстояние между точками -3 и 15 или между точками -30 и -49?

Найдите множество точек, расстояние от каждой из которых до точки -1 меньше 4 и больше 2.

18. Доказать, что

19. Верно ли, что ?

Упражнения.

1.Решить неравенство

Решение. Прежде всего находим точки, в которых обращаются в нуль выражения под знаком модуля:  Точками  и  делим числовую прямую на три промежутка:  и рассматриваем исходное неравенство на каждом промежутке в отдельности. На первом промежутке () неравенство принимает вид  так как  для  и, значит,  по определению модуля. Не все найденные нами решения () попадают в промежуток , для указанных промежутков (  и ) мы должны выбрать общие точки, т.е. найти персечение множеств  Следовательно, весь промежуток  является решением исходного неравенства. Если же , то . Неравенство в этом случае примет вид: . Все точки промежутка  удовлетворяют неравенству  и, следовательно, являются решением исходного неравенства. На третьем промежутке () исходное неравенство равносильно системе . Объединяя все найденные решения, получим решение исходного неравенства: . Аналогично рассматриваются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком модуля.

Решить уравнения:

1)               2)              3)

4)             5)                                 6)

7)                             8)                                 9)

10)         11)                                                 12)

13). 14)                              15)

16) 17)                             18)

19). 20)          21)

3. Решить неравенства и изобразить решения на числовой оси:

1)         2)    3)          4)

5)         6)         7)      8)

9)     10) 11)

4. Изобразить на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим соотношениям:

1)      2)      3)      4)

5)     6)     7)              8)

9) 10) 11)           12)

13)              14)             15)

16)                17)                         18)

19)                       20)             21)

22)        23)            24)

22)              26               28)

Ни одно человеческое исследование

не может называться истинной                                                           наукой,если оно не прошло через

Математические доказательства.

         Леонардо да Винчи.

Границы числовых множеств.

      Пусть Х – некоторое непустое числовое множество.

Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что каждое число х из множества Х не превосходит числа М, т.е.  число М называется верхней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае все точки х из множества Х расположены слева от точки М. Так, множество Х={-1, -2, -3, -4,...} ограничено сверху любым числом . Каждое такое число является верхней границей данного множества. Множество N ={1, 2, 3,...} не будет ограниченным сверху, так как для любого числа М, каким бы большим оно ни было, найдется целое положительное число из множества N большее М.

Множество Х называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что каждое число х из множества Х не меньше числа m, т.е.  число m называется нижней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае в се точки х из множества Х расположены справа от точки m. Например, множество N ={1, 2, 3,... } ограничено снизу любым числом . Каждое такое число является нижней границей данного множества. Множество Х={-1, -2, -3, -4,...} не будет ограниченным снизу, так как для любого числа m, каким бы большим оно ни было, найдется целое отрицательное число из Х меньшее m.

Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если существуют такие  числа m и М, что каждое число х из множества Х удовлетворяяет неравенству .

Например, множество Х=(0, 1] ограничено и сверху и снизу. Сверху оно ограничено любым числом , а снизу – любым числом . Множество Z ={..., -1, 0, 1, 2,...} не является ограниченым ни снизу, ни сверху (почему?).                   Условимся считать пустое множество Æ ограниченным.

Ограниченность множества Х равносильна существованию такого положительного числа С, что каждый элемент множества Х удовлетворяет неравенству .

В самом деле, если множество Х ограничено, то существуют такие числа m и M, что каждое число х из множества Х удовлетворяет неравенству . Пусть С есть наибольшее из чисел  и . Тогда, очевидно,,  т.е. . И наоборот, если для любого  верно неравенство , то , т.е. множество Х ограничено (числом   снизу и числом   сверху).

 

Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) границ, а ограниченное множество имеет бесконечно много и верхних, и нижних границ одновременно.

В самом деле, если М есть верхняя грань множества,то и всякое число М+произвольное положительное число также является верхней гранью(?), если же m есть нижняя грань множества,то и всякое число m- произвольное положительное число также является нижней гранью(?).

  Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху     множества Х называется точной верхней границей (гранью) множества Х и обозначается supX (sup – первые буквы латинского слова supremum – верхний); наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества Х называется точной нижней границей (гранью) множества Х и обозначается inf X (inf– первые буквы латинского слова infimum – нижний ).

Возникает вопрос: всякое ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Ответ на эти вопросы дает следующая

Теорема  (о существовании точных границ).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество Х имеет (единственную!) точную верхнюю границу  (точную нижнюю границу ).

Из теоремы следует, что

  всякое ограниченное множество имеет одну точную верхнюю и одну точную нижнюю границы.

Например, .

Отметим важнейшие свойства точных границ числовых множеств.

Пусть . Тогда:

1.  для каждого , ибо  есть нижняя граница множества Х;

2. для любого  всегда найдется элемент  из Х такой, что  (в противном случае  не было бы точной нижней границей множества Х, почему?);

3. если m – какая-либо нижняя граница множества Х, то , ибо – наибольшая из всех нижних границ Х.

      Пусть. Тогда:

4.  для каждого х из Х, ибо  есть верхняя граница множества Х;

5. для любого  всегда существует элемент  из Х, такой, что  (в противном случае  не было бы точной верхней границей множества Х, почему?);

6. если М – какая-либо верхняя граница множества Х, то , ибо  – наименьшая из всех верхних граней множества Х.