Введение В математический анализ

Учебное пособие

 

Минск 2003

 

 

Высшая математика. Гл.6. Введение в математический анализ. Учебное пособие. Автор Чумаков Ф.В.;Институт парламентаризма и предпринимательства.—Минск.- 71 стр..

Печатается по решению научно –методического

Совета И П П

(протокол № 3 от 16.10. 2002 г.)

           

Рецензенты:

 кафедра теории функций Белорусского государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор А. А. Килбас), Лазакович Н.В., доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа Белорусского государственного университета.

 

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………….5

§6.1.Множества…………………………………………………….…………6

§6.2.Операции над множествами………………………………………….13

§6.3.Модуль числа…………………………………………………………..16

§6.4.Границы числовых множеств.……………………………………...21

§6.5. Открытые и замкнутые множества ………………………..…..…..29

§6.6.Первоначальные сведения о функциях ……………………….…..42

§6.7.Обратная функция………………………………………………..…...44

 

§6.8.Сложная функция………………………………………………….….50

  §6.9.Элементарные функции………………………. ………………..… 53

 

§6.10.Метод математической индукции………………………………....63                                       

Литература ………………………………………………...71

 

Основные символы

Символ	Название	Смысл
"	Знак (или квантор) общности	Запись "х заменяет выражения: любой х, для каждого х, для всех х
$	Знак (или квантор) существования	Запись $х равносильна каждому из выражений: существует х, имеется х, найдется х
Þ	Знак импликации (или следования)	Запись АÞВ означает, что из А следует (вытекает) В, или В является необходимым условием для А, а А - достаточным условием для В
Û	Знак равносильности (или эквивалентности)	Запись АÛВ означает, что из А следует В и из В следует А, т.е. А равносильно В, или А является необходимым и достаточным условием для В (и наоборот), А тогда и только тогда, когда В
L	Знак конъюнкции	Запись АLВ означает что имеет место А и В, т.е. заменяет союз “и”
V	Знак дизъюнкции	Запись АVВ означает, что имеет место, по крайней мере, одно из высказываний А,В, заменяет союз “или”
Î	Знак принадлежности	аÎА означает, что а является элементом множества А
Ï	Знак непринадлежности	аÏА означает, что а не является элементом множества А
{...}	Знак множества	{a,b,c,...} - множество, состоящее из элементов a,b,c,...
{...|...}	Знак множества по признаку	{x | xÎX, p(x)} - совокупность элементов множества Х, обладающих признаком p(x)
å	Знак суммы	Запись  есть краткая запись суммы
!	Знак факториала	n! Означает произведение всех целых чисел от 1 до n
Ì	Знак включения	Запись АÌВ означает, что А является подмножеством множества В, или множество А содержится во множестве В
È	Знак объединения	Множество АÈВ состоит из элементов множества А и элементов множества В
Ç	Знак пересечения	Запись АÇВ означает множество, состоящее из элементов, принадлежащих и А и В одновременно
\	Разность множеств	Запись А\В означает множество, состоящее из элементов А, не входящих в В

В в е д е н и е.

    

 Множество и функция являются основными понятиями, без свободного владения которыми невозможно серьезное изучение математического анализа и других разделов высшей математики. Разъяснение этих понятий проводится на типовых примерах, для решения которых студент должен, как правило, повторить материал школьной математики, восстановить и закрепить навыки, приобретенные в школе.

Пособие состоит из десяти параграфов,содержание которых тесно связано с понятиями множества и функции. В конце каждого параграфа приводится перечень вопросов для самостоятельного контроля степени усвоения материала и упражнения для самостоятельной работы.

Первые два параграфа посвящены множествам – фундаменту, на котором строится здание математики. Для более детального изучения числовых множеств вводится понятие модуля и изучаются его свойства (§6.3). В §6.4 изучаются границы числовых множеств, формулируется теорема о существовании точных границ, которая применяется, например, при строгом доказательстве существования предела монотонной ограниченной последовательности. Открытые и замкнутые множества, рассмотренные в §6.5, играют важную роль при изучении свойств непрерывных функций. Понятие функции является центральным, ему посвящен §6.6. В §6.7 дается понятие обратной функции, которое, как правило, довольно сложно для усвоения,поэтому оно  разъясняется на простых примерах, причем главное внимание уделяется условиям существования обратной функции. Понятие сложной функции изучается в §6.8. Элементарные функции, на базе которых строится математический анализ, изучаются в §6.9. Приводятся простейшие элементарные функции и описываются их свойства.

    С методом математической индукции можно ознакомиться §6.10. После усвоения этого понятия становятся простыми и понятными многие важные математические доказательства из теории рядов.

Пособие адресовано,в первую очередь, студентам.Однако,оно,на наш взгляд, будет полезным и преподавателям.Его можно применять и как учебник,и как сборник задач с методикой их решения.

 

.«В самой математике главные средства достигнуть истины-индукция и аналогия». Лаплас.

«…наиболее изящные новые истины возникают с помощью индукции». Гаусс.

«… математические методы становятся…общими методами для всей науки в целом».Соболев С.Л.

 

 

 Господь Бог создал целое число, все остальное – дело рук человека.

Л. Кронекер [1]

Множества.

 

Совокупность объектов произвольной природы называется множеством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множства.

Так, студент, звезда, кинозал образуют множество и являются элементами этого множества. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, X, Y,..., а их элементы - малыми буквами a, b, c, x, y, …