Іі. Найпростіші висновки з аксіоматики.

Означення 1. Всяке кільце К відносно операції додавання, означеної в ньому, утворює адитивну абелеву групу – адитивну групу кільця К.

Внаслідок цього всі властивості, які мають адитивні абелеві групи. Справедливі і у випадку довільного кільця К. Відзначимо деякі з них.

Означення 2. Нулевий елемент кільця К є єдиним і всякий елемент кільця К має єдиний протилежний.

Означення 3. Які б не були елементи a, b  К рівняння а+х= b має єдиний розв’язок х= b +(-а), який називають різницею елементів b та а і позначають х= b -а.

Означення 4. ( a, b  К): - (a +b)=- а- b.

Аналогічно, як і для адитивних абелевих груп, вводиться поняття n-кратного елемента n а до а:

а+а+...+а, n >0,

na ={ 0, n =0,

(n)(- a)=(- a)+(- a)+…+(- a), n <0.

Нагадаємо, що n - кратний елемент nа задовольняє співвідношення:

Означення 5. ( а  К)( m, n Z): { ma + na = (m + n) a,

m (na)=(mn) a.

Означення 6. Всяке кільце К відносно операції множення, означеної в ньому, утворює мультиплікативну півгрупу.

Наявність асоціативного закону для множення дозволяє ввести поняття n -го степеня елемента а:

( а  К)( n N):

Означення 7. = , =  (  а  К; m, n N).

Відзначимо ще 4 властивості, при доведені яких використовується дистрибутивність множення відносно додавання.

Означення 8.

(  а, b  К): а (b -с) =а b -ас  (дистрибyтивний закон для різниці).

На підставі означення досить показати, що

ас+а (b -с) = ab.

В справедливості останньої рівності пересвідчуємось, використовуючи аксіому 6) і означення різниці b -с:

ас+а (b -с)= а (с +(b -с))= а b.

Означення 9. (  а  К): а* 0=0.

Справді, який би не був елемент х  К:

а* 0= а (х +(-х))= а (х-х)= ах-ах = ах +(-ах)=0.

Як відомо, в довільному полі і в кільці Z цілих чисел справедливе обернене твердження:

(  а, b  К): (а b =0)звідси(а =0) або (b =0).

У випадку довільного кільця це твердження, взагалі кажучи, невірне. Існують кільця,в яких із рівності а b =0 не випливає, що а або в дорівнюють 0.

Наприклад, в кільці  матриць 2-го порядку:

,

Це зауваження дозволяє ввести нове поняття, поняття дільника нуля.

Означення. Якщо для деяких елементів а, b К, а ≠ 0, b ≠0, справедлива рівність а b =0, то елементи а, та b називають дільниками нуля (точніше, а – лівим дільником, b - правим дільником 0).

В кільці М 2 дільниками нуля є, наприклад, матриці

 (α,β≠0).

Вивчення кілець, в яких є дільники 0, дещо ускладнюється. В подальшому ми будемо займатися вивченням тільки тих кілець, в яких нема дільників 0. Комутативне кільце, в якому нема дільників нуля, називається областю цілісності.

Означення 10.

Перша рівність означає. Що елемент (-а) b має бути протилежним до а b, тобто, має виконуватись рівність: а b +(-а) b =0.

Ця рівність легко випливає із аксіом 6) і 4) та властивості 9:

а b + (-а) b = (а+ (-а)) b = 0 b =0.

Аналогічно доводиться, що а(- b)=-а b.

Справедливість останньої рівності легко виводиться із перших двох

(-а)(- b)=-а(- b)=-(-а b)=а b, бо із рівності а+(-а)=0 в аксіомі 4) виходить, що (-а)+а=0, тобто елементом, протилежним до (-а) а –(-а)=а.

Означення 11. Якщо ненулевий елемент а К не є дільником нуля, то із рівності а  =а  ( ,  К) випливає: . Це означає, що рівності можна скорочувати на ненульовий елемент, який не є дільником нуля.

Справді, додавання до обох частин рівності а  =а  елемент - а , ми одержимо:

а  - а 0

або в силу властивості

a ()=0.

Оскільки елемент а не є дільником нуля, то =0, тобто .

Зауважимо, що скорочувати рівності на дільники нуля не можна. Справді, як легко пересвідчитись, в кільці М  справедлива рівність

 в той час, як

 

ІІІ. Підкільце.

Одним із важливих напрямків в теорії кілець є вивчення кілець підмножин кільця. Серед усіх підмножин кільця особливо виділяються ті підмножини, які самі є кільцями відносно операцій, означених в усьому кільці.

Означення. Підмножина К  кільця К, яка сама є кільцем відносно операцій, означених в К, називається підкільцем кільця К.

Наступна теорема дозволяє спростити фактичну перевірку того, чи утворює певна підмножина кільця його підкільце.

Теорема 1. Підмножина  кільця К є підкільцем кільця К тоді і тільки тоді, коли

1) ( а, b ): а+ b ,

2) ( а ): - а ,

3) ( а, b ): а b .

Доведення. Якщо підмножина К є підкільцем К, то виконання умов 1)-3) гарантоване означенням кільця К.

Якщо підмножина  кільця К, навпаки, задовольняє умовам 1)-3), то із умов 1) і 3) випливає, що вона замкнена відносно операції додавання і множення кільця К, тобто, що на К задані операції додавання і множення, причoму  можна розглядати незалежно від включення < К. Оскільки все ж таки < К і в задані ті ж операції, що і в усьому кільці К, то підмножина задовольняє аксіомам 1),2),5),6) із означення кільця.

Із умови 2 випливає,що для всякого а елемент –а  . Тоді із умови 1) випливає, що а+(-а)=0 належить  . Отже в існує нулевий елемент 0 і для всякого а існує – а що теж належить  . Отже, підмножина  задовольняє всім аксіомам із означення кільця, тобто вона є підкільцем кільця К.

Приклади. 1. Підмножина Р усіх парних цілих чисел є підкільцем кільця Z цілих чисел.

Справді, сума, добуток, парних чисел і число, протилежне до парного, є парними. Це означаєщо Р задовольняє умовам теореми 1, значить Р є пілкільцем кільця Z.

2. Множина Р усіх парних неперервних функцій утворює підкільце кільця С усіх неперервних функцій на [-1,1].

Дійсно, для довільних функцій f (x), g (x) Р справедливо:

(f+g)(x)= f (-x)+ g (-x)= f (x)+ g (x)=(f+g)(x),

(fg)(x)= f (-x) g (-x)= f (x) g (x)=(fg)(x),

(-f)(-x)= -f (-x)= -f (x)=(-f)(x).

Отже,

( f, g  Р): f + g, fg, - f Р,

Тобто, множина Р на підставі теореми 1, є підкільцем кільця С.

3.Множина D  усіх діагональних матриць n-го порядку є підкільцем кільця М  усіх матриць n -го порядку над полем Р, бо сума, добуток діагональних матриць, і матриця, протилежна до діагональної, є діагональними.

Зауваження. Умова 2) у формулюванні теореми 1 може бути замінена умовою:

2′) (  а, b  К): а - b  К.

Справді, якщо умова 2′) виконується, то для всякого елемента b існує - b і тоді на підстав умови 1) ми матимемо:

а- b = а +(- b)

Навпаки, якщо справджується умова 2′), то

(  а,  К): -а=0-а ,

Бо 0=а-а і значить, належить .

Закінчемо параграф переліком деяких підкілець довільного підкільця.

1. Множина О={o}, яка складається тільки з одного нульового елемента кільця К, утворює, очевидно, підкільце кільця К. Це підкільце називають нульовим підкільцем К.

2. Кільце К є, очевидно, підкільцем самого себе. Підкільце О і К називають тривіальними підкільцями кільця К, а всі інші підкільця – нетривіальними або властними підкільцями.

3. Якщо Кα – деякі підкільця кільця К, то їх перетин Ко= теж є підкільцем кільця К.

Дійсно, якщо a Кα, то a Кα при всякому α. Оскільки Кα - підкільце, то –а Кα. Значить, при всякому α елемент –а Кα. Тому –а = Ко. Якщо а, b Кα, то при всякому α а, b Кα і отже, внаслідок того, що Кα підкільце, а+ b, а b Кα при всякому α. Таким чином, а+ b, а b = . Як бачимо,  задовольняє умови теореми 1і тому є підкільцем кільця К.

Відомо, яку важливу роль в теоремі груп відіграють циклічні підгрупи (а), породжені елементом а. В наступному пункті побудоване підкільце, яке є аналогом циклічної підгрупи.

4. Нехай К - деяке кільце, а - елемент кільця К. Тоді множина Кα усіх можливих сум

+ +….+ ,

де n1,  - довільні цілі числа, , ,.. довільні натуральні числа, утворює підкільце кільця К, яке називається підкільцем, породженим елементом a. За означенням

Кα =

Щоб показати, що множина Кα - підкільце кільця К, досить перевірити виконання 1.-3. Із теореми 1. В силу асоціативності додавання виконання умови 1. Очевидне, бо скінчених сумах можна довільно розставляти дужкиі, зокрема, їх опускати:

( + +….+ +( ) =( ) Кα

2.Гомоморфізми та ізоморфізми кілець

1.Як відомо, одним із основних понять математики є поняття, функції, відображення. Це поняття вивчається і в математичному аналізі,і в геометрії,і в алгебрі. При вивченні алгебраїчних структур найбільший інтерес становлять ті відображення, які певним способом узгодженні із алгебраїчною структурою, що вивчається. В теорії груп такими відображеннями є гомоморфізми, тобто, такі ж відображення f групи G в групу  що

( а, b G): f (ab)= f (a)

В теорії кілець вивчаються відображення, які аналогічним способом узгоджені з алгебраїчними операціями, означеними в кільці. Такі відображення називаються кільцевими гомоморфізмами.

Означення 1. Відображення f кільця К в кільце називається гомоморфізмом, якщо

( а, b К): f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b).

Перша з цих умов означає, що кільцевий гомоморфізм f в груповим гомоморфізмом адитивної групи кільця К в адитивну групу кільця . Внаслідок цього всі властивості групових гомоморфізмів справедливі і для кільцевих гомоморфізмів. Зокрема:

1. f (o)=0;

2.( а,  К): f (- a)=- f (a)

Аналогічно, як і випадку груп, гомоморфізм f: K , який ін’єктивним відображенням, називається мономорфізмом: гомоморфізм f: K , який є сур’єктивним відображенням, називається епіморфізмом: гомоморфізм f: K , який є бієктивним відображенням, називається ізоморфізмом.

У зв’язку із властивостями 1. i 2. Виникає питання, чи не будуть аналогічні властивості справедливі відносно операцій множення. Виявляється, що будуть, але при деяких обмеженнях на кільця або на відображення f.  Сформулюємо їх:

3. Якщо в кільці К існує 1 i f є епіморфізмом кільця К в кільці , то вкільці = .

Справді, внаслідок сур’єктивності відображення f:

(  а ) ( а  К):

Тоді

(  а ):

(  а ): f (1)

Звідси виходить, що елемент f (1) відіграє роль одиниці в кільці тобто f (1)= . Зауважимо, що одиничні елементи в кільцях К і є єдиними.

4.Якщо в кільці К існує І, кільце областю цілісності з одиницею , то для всякого гомоморфізму f: K справедливо f (1) = .

Дісно,

(  а К)f(a)=f(a 1)=f(a)f(1)

і з другого боку, f(a)=f(a) , звідси f(a)f(1)=f(a)  або інакше

f (a) [ f (1)-

Оскільки в К нема дільників нуля і а можна підібрати так, щоб а є К ми включаємо тривіальний випадок: (  а ): f (a)=0), то з наступної рівності виходить, що f (1)= , відповідно, і відображення f: K

є таким, що f (1)=  Якщо існує обернений елемент для  для елемента а  К, то існує обернений елемент для f (a) і при цьому

f ( )= .

Твердження випливає із рівностей:

f (a) f ( )= f (a )= f (1)= ,

f ( ) f (a)= f ( )= f (1)= .

Для групового гомоморфізму вводять поняття ядрa Kerf і області значень Imf. Аналогічні поняття вводяться і для кільцевого гомоморфізму.

Означення 2. Ядром гомоморфізму f: K називається множина Kerf всіх тих елементів f  К, які відображенням f переводяться в нулевий елемент 0 кільця :

Ker f ={ }

Областю знаень або образом гомоморфізму f: K називається множина Imf всіх тих елементів в , для яких існують такі елементи х  К, що

Im f ={ }.

Як відомо, у випадку групового гомоморфізму f: G множини Ker f і Im f є підгрупами груп G і  відповідно. Неважко перевірити, що у випадку кільцевого гомоморфізму f: K множини Kerf і Imf є підкільцем кільця К і відповідно. До цього питання ми ще повернемось в параграфі 3.

Приклад. Розглянемо кільце  усіх діагональних матриць 3-го порядку.

і кільце усіх трьохвимірних векторів

 в якому операції задані так:

Задамо відображення f: D таким способом: якщо

 

Відображення f є гомоморфізмом:

Якщо

,то

А+В= f (A)= , f (B)=()

і значить

f ( A+B)=()=( = f (A)+ f (B);

AB=

f (AB)=()=( = f (A) f (B);

Очевидно, що

Ker f =

Im f = {a = () |  }

ІІ. Серед гомоморфізмів особлива роль належить ізоморфізмам. Якщо існує ізоморфне відображення кільця К на кільце  , то кільця К та називають ізоморфними. Ізоморфні кільця мають цілком однакові алгебраїчні властивості і фактично їх можна не розрізняти. З цієї точки зору цікавим є наступне твердження.

Теорема 1. Якщо кільце К ізоморфне множині М з двома алгебраїчними операціями – додавання та множення, то множина М теж є кільцем.

Доведення. Нехай кільце К ізоморфне множині М, на якій означено операції додавання і множення. Нам треба довести, що множина М є кільцем. Оскільки на множині М операції вже означено, то залишається тільки показати, що ці операції задовольняють аксіоми кільця.

Оскільки кільце К ізоморфне М, то відображення ізоморфне f: K → M. Відображення f зокрема є сур’єктивним і, значить:

( , ,  М) ( a, b, c  К): = f(a), =f(b), =f(c)

Тоді, в силу гомоморфності відображення f і справедливості аксіом кільця для операцій, означених на К, ми матимемо:

(а′+ )+ =( (а)+ (b)) + f(c) = f (a+b) + f (c) = f ((a+b)+c);

f (a+(b+c))=f (a)+f (b+c)=f (a)+(f (b)+ f (c))= а′+ + ;

) =(f (a) f (b)) f (c)=f (ab) f (c)=f ((ab)c)=f (a(bc))=f (a) f (bc)=f (a)(f (b) f (c))= );

+ = f (a)+f (b)=f (a+b)=f (b)+f (a)= + а′;

+ =f (ab)+f (ac)=f (a) f (b)+f (a) f (c)= а′ b′+ а′с′.

Таким чином, операції, означені на множині М, задовольняють аксіоми 1),2), 5), і 6) означення кільця. Роль нулевого елемента в М виконує f (0):

а′ а′,

протилежним елементом до елемента  є елемент f (- a):

а′ .

Отже, множина М є кільцем.

Як бачимо, ізоморфізм переносить алгебраїчні властивості з однієї множини на другу. При допомозі ізоморфізму можна розв’язати і питання про існування обернених елементів. Цим займемося в наступному пункті.

 ІІІ. Поле дробів області цілісності. Якщо кільце К є кільцем з одиницею, то деякі елементи цього кільця мають обернені до себе. Постараємося з’ясувати, для яких елементів кільця існують обернені елементи.Справді, якщо а — дільник нуля кільця К, тобто, існує такий елемент що ab = 0, то припустивши існування елемента  і домноживши останню рівність на , дістанемо:

всупереч умові

       Отже, шукати елементи, що мають обернені, треба серед недільників нуля. Виникає питання: чи кожен елемент, що не є дільником нуля, має обернений? Відповідь одержується, коли з цього погляду розглянути кільце Z цілих чисел. В кільці Z обернені елементи мають тільки 1 і -1. Інші числа обернених елементів не мають і в той же час вони не є дільниками нуля. Отже, не всі недільники нуля мають обернені елементи. Одначе, для кільця Z цілих чисел існує більш широке кільце — поле раціональних чисел, яке містить кільце Z і в якому кожне ненулеве ціле число має обернене число. Тоді можна поставити питання: чи не має місця аналогічна ситуація у випадку довільного кільця К? Виявляється, що має і це можна обґрунтувати ввівши поняття ізоморфного вкладення кільця в кільце.

Означення. Говорять, що кільце К ізоморфно вкладається в кільце K ′, якщо існує ізоморфне відображення кільця К на деяке підкільце K ′.

Виявляється, що кожне кільце К можна ізоморфно вкласти в кільце K ′  в якому всякий ненулевий елемент, що не є дільником нуля, має обернений. Обгрунтуємо зараз це твердження тільки для того випадку, коли К — область цілісності. Кільце K ′ виявиться при цьому полем. Отже, доведемо таку теорему.

Теорема 2. Всяка область цілісності К ізоморфно вкладається в поле

Доведення. Щоб виробити підхід до доведення даної теореми, зауважимо, що поле раціональних чисел, яке містить в собі кільце цілих чисел і в якому кожне ненулеве ціле число має обернене, одержується із кільця Z шляхом введення дробів , де m, n — цілі числа, тобто шляхом розгляду впорядкованих пар цілих чисел. Доведення теореми 2 зводиться до фактичної побудови поля . Цю побудову здійснюватимемо аналогічно, як і при побудові поля раціональних чисел, тобто шляхом розгляду множини всіх впорядкованих пар елементів з кільця К.

I. Отже, розглянемо множину  всіх впорядкованих пар (

(a,х K, x ) елементів із кільця К. Ці пари зручно записувати у вигляді  і називати дробами. Введемо в цій множині відношення рівності таким способом: дроби будемо називати рівними,  , якщо a у= b х. Так введемо відношення, яке є відношенням еквівалентності на множині . Справді, відношення рівності задовольняє всім трьом умовам з означення відношення еквівалентності:

а) , бо a х= ах / рефлективність ̸;

б) )  ), бо з рівності

ау = b х

                   в) :(  бо перемноживши рівності ау= b х і bz = су (1). Одержимо (ау)(bz)=(b х)(су), звідси скориставшись асоціативністю і комутативністю множення в кільці К та властивістю а z = cx (2).

(це при умові, що b b =с, то в силу того, що в К немає дільників нуля, з рівності (1) випливатиме: а =0, с =0 і тоді рівність (2) очевидна).

Відомо, що всяке відношення еквівалентності на множині визначає розбиття цієї множини на класи. Тому введене нами відношення рівності дробів в множині визначає розбиття цієї множини класи рівних між собою дробів. Кожен такий клас є сукупністю всіх рівних між собою дробів і тому він повністю означається будь-яким своїм елементом , через це будемо його позначати так: { . Різні такі класи не містять рівних між собою дробів і об’єднання всіх таких класів співпадає із множиною . Отже,

II. Доведемо, що множина  утворює поле. Для цього треба ввести в множині операції додавання і множення. Введемо їх так:

:{

Ці означення коректні, бо кільце К є областю цілісності і тому із нерівностей xy  випливає, що x  . Покажемо, що так введені операції є однозначними, тобто, що сума і добуток класів і не залежить від вибору представників класів. Інакше кажучи, що коли

                             (3)

то                              (4)

Рівність (3) означає, що

                            (5)

Щоб довести рівності (4), треба довести рівності:

а для цього треба показати справедливість рівностей:

які в силу дистрибутивності і асоціативності рівносильні рівностям:

Якщо врахувати, що в кільці К множення комутативне, асоціативне і дистрибутивне, то перша з останніх рівностей одержується із вірних рівностей (5) домноженням першої з них на другої — на і наступним додаванням одержаних рівностей, а друга — почленним перемноження рівностей (5). Цим справедливість рівностей (4) доведена.

       Таким чином, які б не брати дроби із класів сума і добуток цих класів залишаються незмінними.

       Приступимо до перевірки виконання аксіом поля в множині . Справедливість асоціативності, комутативності, додавання і множення та дистрибутивність множення відносно додавання в множині  безпосередньо випливає із справедливості цих властивостей в кільці К. Перевіримо, наприклад, дистрибутивність множення відносно додавання:

звідки внаслідок рівності правих частин одержуємо:

Щоб вказати нульовий елемент в множині  , зауважимо, що множина всіх дробів виду  утворює клас рівних дробів, бо

x, y K;    x, y

і з рівності

Крім того,

Отже, нулевим елементом в множині є клас { Протилежним елементом класу є клас

Роль одиниці в множині К відіграє клас , який складається із усіх дробів з однаковими ненулевими чисельниками і знаменниками. Справді,

Залишається тільки помітити, що множина всіх дробів з рівними чисельниками і знаменниками справді утворює клас рівних дробів. Цей факт є наслідком того, що завжди  і завжди з рівності випливає bx = xy, тобто, b = y. Якщо клас  є ненулевим, тобто, a , то оберненим до цього класу є клас , що містить дріб

Таким чином, множина  задовольняє всім аксіомам з означення поля  і тому вона є полем.