Застосування конгруенцій до встановлення ознак подільності.

 Як відомо, в кільці Z цілих чисел визначені операції додавання, віднімання і множення, а дія ділення не завжди можлива. Тому виникає потреба визначити, при яких умовах цілі числа діляться одно на одне.

Подільність чисел – це певне відношення між числами, яке в Z ₊ має такі властивості: рефлективність (a a), транзитивність () і антисиметричність . Будь-яке відношення, яке має властивості рефлективності, транзитивності і анти симетричності. Називається відношенням не строгого порядку. Отже, подільність чисел в Z ₊ є відношенням не строгого порядку. Аналогічним відношенням частинної упорядкованості є, наприклад, відношення «» в кільці Z. Воно рефлексивне  , транзитивне [ a  b Ù b  c ]Þ[ a b ]), антисиметричне .

Між відношеннями подільності і  в кільці Z можна встановити і таку аналогію. Відношення a ⋮ b означає, що існує таке число с, при якому виконується рівність a = bc. Відношення , або  , означає, що існує таке число , при якому . Рівності  і , як бачимо, аналогічні.

Факт подільності двох чисел можна, звичайно, встановити за допомогою алгоритму ділення чисел з остачею. Проте для великих чисел це завдання досить складне. Тому бажано знайти зручні ознаки, за якими можна було б судити про подільність чисел, не виконуючи самого ділення. В цілому суть ознак подільності зводиться до того, що розгляд подільності деякого натурального числа a на натуральне число m змінюється розглядом подільності на число m іншого, меншого за a натурального числа b, яке можна знайти за деяким правилом, що визначається числовою функцією , тобто . При цьому числа є, як кажуть. Рівноподільними на число , тобто такі, які одночасно діляться або одночасно не діляться на число . Часто вимагають, щоб вони були конгруентними за модулем .

Одним із способів знаходження ознак подільності, основаних на конгруентності чисел, є так званий спосіб Паскаля¹. Нехай деяке натуральне число  при основі числення має вигляд

,

де коефіцієнти  є натуральні числа, які задовольняють нерівності . Позначимо через  остачу від ділення числа на ,тобто ,і побудуємо число  за таким правилом:

На основі властивості 9 п. 15.1 . Оскільки , то дістаємо таку ознаку Паскаля подільності чисел:

Якщо число  ділиться на число m, то ділиться на нього і число .

Якщо ж b на число m не ділиться, то не ділиться на m і число a.

За допомогою цієї загальної ознаки можна встановити зручні конкретні ознаки подільності чисел, записаних у звичайній для нас десятковій системі числення. У цій системі  і число  має вигляд:

Коротко це можна записати так: .

а) Ознака подільності на 2 і на 5.

Оскільки , то всі остачі  від ділення  на числа 2 і 5 дорівнюють нулю. Тому за формулою (2) число . Отже, маємо таку ознаку:

Число a ділиться на 2 і на 5 тоді і тільки тоді, коли на них ділиться цифра одиниць числа a.

Приклад 1. Число . Число 8127 не ділиться на 5, бо 7 не ділиться на 5.

б) Ознака подільності на 3 і на 9.

Оскільки всі остачі  від ділення  на число 3 або 9 дорівнюють 1, то за (2)

Отже, маємо таку ознаку:

Число a ділиться на 3 (або на 9) тоді і тільки тоді, коли сума цифр, які його зображують, ділиться на 3 (або відповідно на 9).

Приклад 2. Число .

в) Ознака подільності на 11.

За модулем 11 маємо

Тому , і, отже, за рівністю (2)

Враховуючи, що цифри  з парними індексами в числі  стоять на непарних місцях, можна сформулювати таку ознаку:

Число a ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця між сумою цифр, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр. Які стоять на парних місцях, ділиться на 11.

Приклад 3. Число , бо число

ділиться на 11.

У системі числення з основою  можна знайти зручні ознаки подільності на числа 4, 25, 50. Число  в цій системі можна записати так:

Порівнюючи це з (3), бачимо, що , тобто є двоцифровим числом, яке зображується двома останніми цифрами числа  в десятковій системі числення.

Враховуючи, що  і числа  діляться на числа 4, 25, 50, дістаємо такі ознаки подільності:

Число  ділиться на 4 (або відповідно 25 чи 50) ділиться двоцифрове число , утворене двома останніми цифрами числа , записаного в десятковій системі числення.

Ознаки подільності є цінними, якщо вони прості, зручні для користування. Проте більшість ознак, які можна вивести з ознаки Паскаля, є складними. Існує ряд зручних ознак подільності, які не випливають з загальної ознаки Паскаля, а знайдені іншими способами. Наприклад, одну з ознак подільності на 7 можна сформулювати так:

Число ділиться на 7 тоді і тільки тобі, коли ділиться на 7 число .

Зазначимо, що на відміну від усіх попередніх ознак числа тут рівноподільні на7, а не конгруентні між собою за модулем .

Приклад 4. .

Оскільки  не ділиться на 7, то не ділиться на 7 і число 285. Зазначимо, що при діленні на 7 числа 285 дістаємо остачу 5, а при діленні на 7 числа 18 остача дорівнює 4 і тому .

Приклад 5. Встановити, чи ділиться на 7 число .

Приклад можна розв’язати так. Перш за все  і тому . А . Тому . Оскільки  то й число .