Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
З груповою операцією. Суміжні класи.
Як уже підкреслювалося, основними об’єктами сучасної математики є математичні структури – множини з одним або декількома відношеннями. Алгебраїчні операції – окремий вид відношень, точніше, функціональних відношень. Зрозуміло, що можуть існувати структури, яких поряд з алгебраїчною операцією задано деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. Зараз зупинимось на розгляді груп, в яких додатково введено деяке відношення еквівалентності. Інтерес становлять тільки ті відношення еквівалентності, які певним способом узгоджені з груповою операцією. Оскільки операція в групі, взагалі кажучи, некомутативна, то приходиться розглядати віношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією справа. Означення 1. Говорять, що відношення еквівалентності означене на групі G, узгоджується з груповою операцією зліва, якщо ()( G): (b - ) (ab - a ) і справа, якщо ()( G): (b - ) (ba - ) Наведемо приклади відношень еквівалентності, узгоджених з груповою операцією зліва і справа. Означення 2. Нехай Н -довільна підгрупа групи G. Елементи а, b G будемо називати конгруентними за модулем Н зліва і записувати а () якщо , і справа та записувати , якщо Теорема 1. Відношення конгруентності зліва (справа) за модулем підгрупи Н є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва (справа). Доведення. Теорему доведемо для відношення конгруентності зліва (для конгруентності справа доведення аналогічне). Перевіримо спочатку, що відношення конгруентності зліва за модулем підгрупи є відношенням еквівалентності, тобто, що воно заловільняє відомим умовам з означення, відношення конгруентності. 1) , бо 2) Якщо ,то елемент . Тоді підгрупі належить і еле-мент , тобто . Це і означає, що 3) Якщо і , то елементи . Тоді їх добуток , тобто елемент належить Н. Значить, . Залишилося показати, що дане відношення еквівалентності узгоджене з груповою операцією зліва, тобто, що Щоб довести справедливість останьої конгруенції, треба показати, що а остання належність очевидна, бо . Отже, відношення конгруентності зліва (справа) за модулем є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва (справа).
Виявляється, що відношень еквівалентності на групі G, узгоджених з груповою операцією зліва (справа), які були б відмінними від відношення конгруентностізліва (справа) за модулем підгрупи Н взагалі немає. Інакше кажучи, відношуння конгруентності зліва (спра-ва) за модулем підгрупи Н є універсальним відношенням еквівалентності, узгодженим зліва (справа) з груповою операцією. Точніше така теорема, яку приймемо без доведення: Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності ~ на групі G, узгоджено з груповою операцією зліва (справа) існує підгрупа Н групи G така, що відношення ~ євідношенням конг-руентностізліва (справа) за модулем підгрупи Н.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 103; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.166.122 (0.004 с.) |