І. Алгебраїчні c труктури з однією операцією.

Озн ачення 1. Не порожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, називається групоїдом.

Алгебраїчну операцію що визначає групоїд, будемо найчастіше називати множенням і вживати мультиплікативний запис a × b. Підкреслимо, що операція, яка визначає групоїд М, повинна бути скрізь означеною на множині М, тобто

Щоб відзначити, що групоїд визначається двома компонентами — множиною М і алгебраїчною операцією, означеною на ній, — часом для групоїда вживають таке позначення: . Як видно з означення, на операцію, яка визначає групоїд, не накладається жодних умов.

Приклади.

1. Множина всіх векторів трьохвимірного простору R, є групоїдом, якщо під алгебраїчною розуміти операцію знаходження векторного добутку двох векторів.

2. Множина всіх підстановок n -го степеня з операцією множення підстановок утворює групоїд.

3. Якщо в множині R всіх дійсних чисел розглядати тільки операцію додавання чисел, то сукупність є групоїдом.

Як відомо, операція знаходження векторного добутку двох векторів є асоціативною і комутативною, відносно неї не існує нейтрального елемента. Операція множення підстановок є асоціативною, але не є комутативною, відносно неї існує одиничний елемент і для кожної підстановки — обернена. Операція додавання дійсних чисел є асоціативною і комутативною, відносно неї існує нульовий елемент і для кожного числа — протилежне.

Як бачимо, в деяких групоїдах алгебраїчна операція насправді задовольняє тим чи іншим умовам. Це дає можливість прокласифікувати групоїд в залежності від того, яким умовам задовольняє алгебраїчна операція групоїду. Ми зупинимось тільки на двох класах групоїдах — півгрупах і групах. Півгрупа — це групоїд, алгебраїчна операція якого є асоціативною. Група — це півгрупа, в якій існує одиничний елемент і для кожного елемента — обернений. Зараз дамо детальніші означення цих об’єктів і вивчимо їх деякі властивості.

ІІ. ПІВГРУПА.

Означення 2. Непорожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, яка є асоціативною, називається півгрупою.

Приклади.

1. Множина всіх підстановок n -го степеня з операцією множення підстановок утворює півгрупу.

2. Групоїд , де R — множина всіх дійсних чисел, теж є півгрупою.

3. Множина всіх матриць n -го порядку утворює півгрупу відносно операції множення матриць, бо множення матриць є асоціативним. В цій півгрупі існує одиничний елемент — одинична матриця Е, але не для кожної матриці існує обернена.

4. Сукупність  і , деN— множина натуральних чисел, утворюють півгрупи, причому в першому випадку нейтральний елемент (І) належить півгрупі, а в другому випадку півгрупа не містить нейтрального елемента (0).

5. Множина P всіх цілих парних чисел утворює півгрупу відносно операції множення (добуток парних чисел — парне число, множення чисел асоціативне), причому ця півгрупа нейтрального елемента (І) не містить.

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи М дозволяє однозначно ввести в М поняття добутку 3, 4, …, n елементів. Оскільки , то добуток трьох елементів можна прийняти будь–який із елементів  і . Приймемо за означенням:

Добуток 4, 5, …, n елементів означимо рекурентно:

……………………………………………………………………………………

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи дозволяє в добутках, що містять більше двох співмножників (такі добутки будемо умовно називати складеними), довільно розставляти дужки. Цей факт випливає з такої теореми:

Теорема 1. Добуток двох складених добутків дорівнює складеному добутку всіх співмножників, що входять до їх складу, взятих у тому ж порядку, тобто (1)

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції по n.

1. Якщо n =1, то формула (1) прийме вигляд: , яка є справедливою згідно прийнятого означення добутку (m +1)-го елемента.

2. Припустимо, що формула (1) справедлива для деякого n, треба довести, що вона справедлива для n +1:

Використовуючи означення добутку (m + n)+1 елементів і асоціативність алгебраїчною операції, послідовно матимемо:

Отже, формула (1) справедлива при n, то вона справедлива і при n +1. На підставі принципу математичної індукції можна стверджувати, що формула (1) справедлива при будь-якому n.

Наслідок. В складеному добутку можна вільно розставляти дужки.

Справді, тому що у формулі (1) послідовно брати m =1, 2, …, n -1, то дістанемо:

В кожній із одержаній дужок можна на підставі теореми 1 знову довільно розставляти дужки, наслідок чого ми одержимо, наприклад, таке:

ІІІ.ОЗНАЧЕННЯГРУПИ.ПРИКЛАДИ. НАЙПРОСТІШІВЛАСТИВОСТІ ГРУП.

Означення 3. Не порожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1) Алгебраїчна операція асоціативна, тобто ,

2) в G існує одиничний елемент е такий, що ,

3) для кожного елемента G існує обернений елемент G такий, що a = a = e.

Якщо алгебраїчна операція, означена в групі, є додатково комутативною, то група називається комутативною або абелевою.

Приклади.

1. Система , де – множина додатних дійсних чисел утворює групу, бо ( a, b є ) a, b є ) і операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення дійсних чисел асоціативне. 2) в  існує одиничний елемент – число 1. 3)для кожного числа а є обернене число існує і належить  .

2. Множина  всіх дійсних чисел без нуля теж утворює групу відносно операції множення дійсних чисел. В цьому переконуємось так само як і в прикладі 1.

3. Множина  всіх дійсних чисел утворює групу відносно операції додавання дійсних чисел. Справді, операція “+” в R задовольняє аксіомам групи: 1) Операція “+” асоціативна. 2) в R існує нейтральний елемент – число 0. 3)для всякого числа а існує симетричний елемент – протилежне число – а.

4. З аналогічних міркувань система , де Z – множина усіх цілих чисел є групою.

5. Множина  всіх невироджених матриць n -го порядку над полем P утворює групу відносно операції множення матриць. Дійсно ()АВ , бо за теоремою про визначник добутку матриць  Крім того, 1)Множення матриць асоціативне. 2)В існує одиничний елемент – одинична матриця E. 3)Всяка неособлива матриця має обернену, яка, крім того ж належить , бо на підставі теореми про визначник добутку матриць із рівності =E виходить =1 і значить,

6. Множина =  всіх значень кореня n -ого степеня з 1 утворює групу відносно операції множення комплексних чисел. Справді, якщо , бо = =1. Операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення комплексних чисел асоціативне, 2) одиниця належить =1, 3) ()() і , бо = =1.

7. Множина  всіх підстановок n -ого степеня очевидним чином утворює групу відносно операції множення підстановок.

Зауважимо, що групи в прикладах 1-4 і в 6 є абелевими, а групи в прикладах 5 і 7 – неабелеві. Зауважимо також, що алгебраїчні операції в конкретних групах є або операціями множення, або операціями додавання. Групи, в яких алгебраїчні операції є множенням називаються мультиплікативними, а групи, в яких алгебраїчні операції є додаванням, є адитивними. З наведених прикладів видно, також, що одні групи мають безліч елементів – нескінченної групи (групи прикладів 1-5), інші мають скінченну кількість елементів – скінченні групи (групи прикладів 6 і 7). Кількість елементів у скінченній групі G називається порядком цієї групи і позначається Or )= n, а в прикладі 7 Or )= n!. В скінченних множинах групову операцію зручно задавати за допомогою таблиць множення, так званих таблиць Келі. В множині ,що складається з двох поворотів площини навколо нерухомої точки О – точки повороту l на кут  і повороту
 на кут операцією множення задамо такою таблицею Келі:

 

	e
e	e
		e

Легко перевірити, що множина  із заданою операцією є групою.

Вправи. I. Дослідити, чи утворює групу:

1) множина N всіх натуральних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

2) множина Q всіх раціональних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

3) множина  відносно операції множення чисел,

4) множина всіх парних підстановок n -ого степеня відносно операції  множення підстановок,

5) множина всіх непарних підстановок n -ого степеня відносно операції  множення підстановок.

II. Скласти таблицю Келі для симетричної групи  .

Відзначимо декілька найпростіших властивостей груп, які безпосередньо випливають з означення аксіоматики групи.

. В усякій групі  одиничний елемент е є єдиним і для всякого елемента а G обернений елемент  теж єдиний.

Ця властивість є безпосереднім наслідком теорем, доведених у курсі алгебри першого семестру, про єдиність нейтрального елемента і симметричного елемента в множині з асоціативною алгебраїчною операцією.

. Для всяких елементів а, b G рівняння ax = b та ay = b мають єдині розв’язки відповідно x = b та y = b .

Доведення цієї властивості проводиться точно так само, як і доведення відповідної властивості полів.

. ( a, b G)(( = ), тобто елемент обернений до добутку, дорівнює добутку елементів, взятих у зворотному порядку.

Доведення. Щоб показати, що елемент  є оберненим до ab треба показати на підставі означення оберненого елемента, що і (ab)( е і (ab)=е. Покажемо справедливість першої рівності (друга – аналогічно): (ab)( а(b ) =(ae) = a = e.

Подібно до того, як вводиться степінь з цілим показником для дійсного числа, поняття степеня з цілим показником можна ввести для будь-якого елемента групи.

Означення 4. Нехай G – група і n – ціле число. Тоді

,

Правила дій над степенями елементів групи ті ж, що і над степенями дійсних чисел:

4^*. Якщо G – група, то ( а G, m, n Z): а ^m а ⁿ = а ^{m + n}.

Доведення. В залежності від знаків чисел і розглянемо кілька випадків.

1) m ≥ 0, n ≥ 0. Тоді на підставі означення 4 і теореми 1

а ^m а ⁿ =  = a^{m + n}.

2) m ≥ 0, n ≤ 0. Тоді n = -| n |  і, використовуючи означення 4 і теорему 1, матимемо:

 =

3) m ≤ 0, n ≥ 0. Розглядається аналогічно випадку 2).

4) m ≤ 0, n ≤ 0. Розглядається аналогічно випадку 1).

Наслідок. В групі G ( а G) ( n Z): (а ⁿ) ^-1  = а ^{- n}, тобто, елементом, оберненим до а ⁿ,є а^{- n}

Справді, а ⁿ а ^{- n} = а ^{n - n} = а ⁰ = е,

а^{- n} а ⁿ = а ^{– n + n} =а⁰= е.

Методом математичної індукції властивість 4 можна розповсюдити на довільну скінчену кількість співмножників

5 . В групі G для

:( ) ⁿ =

Доведення. Розглянемо два випадки.

1) m – довільне, n . Тоді на підставі властивості 4  і означення 4

2) m – довільне, n <0. Використовуючи означення 4, наслідок з властивості 4  і перший пункт доведення даної властивості, матимемо:

= ⁼ = .

Вправа. Перефразувати властивості 3-5 для адитивних груп.

Зауважимо, що при переході до адитивних груп поняття n-ого степеня елемента  замінюється поняттям n-кратного елемента елементу